多米諾骨牌與數學歸納法

漆頌　戴善瓊

摘 要 本文利用多米諾骨牌效應梳理了數學歸納法的步驟。讓學生更直觀地理解了數學歸納法步驟以及如何利用數學歸納法證明相關題型。

關鍵詞 多米諾骨牌 數學歸納 法推理

中圖分類號：O1 文獻標識碼：A

在中學數學中，一般學生不難運用數學歸納法的兩個步驟來證明相關題型。但數學歸納法的基本思想很多學生卻一知半解。比如數學歸納法用來解決什么問題；用數學歸納法證明題的兩個步驟是怎么得出來的；為什么只要證明了這兩個步驟就證明了命題對一切自然數都成立。這些問題很多學生都是摸摸糊糊的，而多諾米骨牌游戲可以幫助我們認識這些問題。

（1）數學歸納法是一種由特殊到一般的推理方法。是人們在認識客觀世界的時候經常采用的方法，具體指考查和研究一些特殊的和個別的事物，在獲得對這些事物認識的基礎上總結和抽象出一般的結論的一種方法。數學歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法。不完全歸納法主要考查若干個具體實例然后由此得出結論，如例1：

例1三角形內角和為180？（3-2）？80？

四邊形內角和為360？（4-2）？80？

五邊形內角和為560？（5-2）？80？

六邊形內角和為720？（6-2）？80啊？

從而歸納得出n邊形的內角和是（n-2）？80？

不難看出，不完全歸納法的結論不一定正確。例如，學生試卷中，如果幾份試卷都及格，就認為全班都及格，顯然這個結論不可靠，要逐個審閱才能得出正確的結論，所以例1的結論也不一定正確。

（2）完全歸納法是對所有對象都作了考查才得出結論。所以要用完全歸納法才能得出正確的結論。以下將舉例說明完全歸納法的步驟。

當考查的對象是有限個時，只需一一驗證。

當考查的對象是無限個時，我們不能一一考查，我們將用什么方法來實現完全歸納法呢？應用數學歸納法可以通過有限的方法來解決無限的問題。

例2考查f（n）=1+3+5+7+…+（2n-1）

當n=1時，得f（1）=1=12

當n=2時，得f（2）=1+3=4=22

當n=3時，得f（3）=1+3+5=9=32

當n=4時，得f（4）=1+3+5+7=16=42

……

當n=100時，得f（100）=1+3+5+7+9……+199=10000=1002

猜想：對任意的自然數都有

1+3+5+7+9+……（2n-1）=n2

就此，我們只能對上面的結論作猜想，因為自然數的無窮性，我們無論計算多少次都不能肯定結論的正確性，而我們也不可能對自然數一一考查。

著名的多米諾骨牌游戲，將許多牌立成一列，現在要把它們推倒。因為有許多許多（無窮多），將它一個一個地推是無法辦到的。我們只需要推倒第一張牌，然后由第一張牌推第二張牌，再由第二張牌推第三張牌，由第三張牌推第四張牌，……由此下去，所有的牌就推倒了。顯然要推倒所有的牌必須滿足二個條件，第一，人為地推倒第一張牌，第二，必須前一張牌能推倒后一張牌。

考查對于所有自然數的命題成立與否也可以用這個方法。

如對于例2，證明對一切自然數

f（n）=1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n2

證明：當n=1時，f（1）=12命題成立

相當于推倒第一張牌，這是基礎。

由n=1命題成立n=1+1=2時命題成立，相當于由第一張牌推倒第二張牌。

由n=2命題成立n=2+1時命題成立，相當于由第二張牌推倒第三張牌。

由n=3命題成立n=3+1時命題成立，相當于由第三張牌推倒第四張牌。

……

以上第二個步驟可由一個類推式子表示。

當n=k命題成立n=k+1時命題成立（k∈N），就是由前一張牌推后一張牌的過程，這是一個類推過程，當k取遍一切自然數時，命題即對一切自然數都成立。

所以對此題，假設n=k，對等式成立（k∈N），即從1開始連續k個奇數和等于其項數k的平方，即是1+3+5+……+（2k-1）=k2

當n=k+1時

1+3+5+7+9……+（2k-1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2

此即當n=k+1時等式也成立。所以當k取遍一切自然數時，可得對任何自然數n等式成立。

由此我們順利地得到數學歸納法的兩個步驟：

①當n取第一個值時，n=1（或n=2）時命題成立。

②假設n=k（k∈N）命題成立n=k+1時命題成立。

第二個步驟表示第一個值后面的所有自然數，命題都成立。第二個步驟的實質解決了從有限到無限的問題。

應該指出沒有第一個步驟，第二個步驟的類推是空中樓閣，而只有第一個步驟，沒有第二個步驟無論驗證多少個值，都只能是不完全歸納，不能得到最后的正確結論。

還應該指出，數學歸納法證明一般來說應當是關于自然數的命題，但并不是任何涉及自然數的命題的正確性都一定要用數學歸納法去證明。有些問題如果可以通過直接計算去證明就不用數學歸納法了，例如等式（n+1）（n-1）=n？-1對于一切自然數成立，只要通過計算就可以由左邊推到右邊，而對于那些無法直接計算又必須由小到大順序計算的式子，通常就要用數學歸納法了

參考文獻

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