微積分教學中數學理論和哲學思想的聯系

【摘要】數學與哲學是密切聯系、相輔相成的.數學理論中蘊含了豐富的哲學思想，哲學思想又指導著數學理論的發展.研究哲學思想和數學理論的聯系，是認識數學的需要，也是研究數學，發展數學的需要.以微積分為例，探討微積分中豐富、典型、深刻的辯證法思想，用哲學思想來指導教學和學習，可以使學生站在較高的角度認識數學、理解數學，提高學生的觀察能力、思維能力、推理能力和創新能力.

【關鍵詞】哲學；思想；微積分；理論；聯系

一、 哲學與數學

數學是研究客觀世界數量關系和空間形式的科學，哲學是研究客觀世界的本質及規律的科學，是自然科學和社會科學的概括和總結，是理論化、系統化的世界觀和方法論.

數學從量的角度分析問題，哲學從質的角度分析問題.質與量是表征事物基本規定性的哲學范疇，量是質的等級、規模、范圍、排列次序和結構的表現，是事物可以由數和形來表示的規定性.事物是質與量的統一體，質的內容必須借助于一定的量來表現.數學是研究量的科學，通過量的分析，揭示事物的性質特征.哲學是人類思維的結晶和提煉，浩瀚星云，蒼茫大地，蕓蕓眾生，陰陽和諧，無一不在其視野中，無一不被其包羅收容.

數學和哲學具有共同的特點，即高度的抽象性、廣泛的應用性和邏輯的嚴密性.

數學與哲學聯系緊密、交相輝映、齊驅并進.數學中蘊含著哲學，并以其成果推動著人類哲學思想的發展，同時哲學作為世界觀，為數學發展提供指導作用，哲學作為方法論，為數學提供認識工具和探索工具.

哲學與數學的關系源遠流長，數學家B.Demollins說過：“沒有數學，我們就無法看穿哲學的深度；沒有哲學，人們也無法看穿數學的深度；而若沒有兩者，人們就什么也看不透.”迪卡爾說：“哲學與數學的統一：美麗的夢.”

二、哲學家與數學家

縱觀數學和哲學的發展歷史可以看到，推動數學發展的巨匠往往是哲學家，又有好多哲學家精通數學.弗雷格說過：“一個好的數學家，至少是半個哲學家；一個好的哲學家，至少是半個數學家.”在他們眼里，數學與哲學是同宗同源的.

西方第一位哲學家古希臘的泰勒斯是希臘幾何學的鼻祖.古希臘的畢達哥拉斯，發現了勾股定理，得出了“萬物皆數”的著名哲學命題.柏拉圖對嚴密定義和邏輯證明的堅持，促進了數學的科學化，他相信數是一種獨特的客觀存在，由此產生了數學上的“柏拉圖主義”.亞里士多德，是邏輯學的創始人，為幾何學奠定了鞏固的基礎，他的公理化思想促進了幾何學的誕生和發展.哲學家赫拉克利特提出的樸素的辯證法思想促進了數學的發展.笛卡兒于17世紀上半葉劃時代地在數學中引進了變量概念和運動的觀點，被譽為是“數學的轉折點”，導致了微積分的誕生，進而推動了自然科學的發展.萊布尼茨創建了微積分，并發明了優越的微積分符號，他在哲學上是客觀唯心主義者，“單子論”是他的著名哲學觀點.哥白尼的日心說揭開了現代科學的序幕，支撐他信念的是畢達哥拉斯的數學化哲學：萬物皆數，天體是永恒神圣的，必然按照最完美和最和諧的圓周做勻速運動.希爾伯特直言不諱，他關于無限的形式主義思想來自康德的哲學觀念.羅素從分析哲學的基本立場出發，堅持邏輯即數學的青年時代，數學即邏輯的壯年時代的觀點.

牛頓和萊布尼茨建立了微積分，找到了描述無限和運動的數學語言和方式.牛頓的微積分概念本身就是一種哲學觀念，通過從幾何切線、瞬時速度等直觀問題的抽象提煉，牛頓完全從哲學高度把握住了無限小的零和非零的辯證關系.這是一種高屋建瓴的概括，入木三分的洞察.牛頓的思想是思辨哲學的高峰，不僅是在數學上發展了一種學說，形成一整套行之有效的算法，如極限、導數、微分、積分計算等，而且從哲學范疇上講，無限變動問題借助于強有力的分析數學思想得以在有限的范圍內表述.恩格斯把微積分的發明看成是人類精神的最高勝利，至今還沒有其他一門學科能像數學那樣精確辯證地處理運動和靜止這對哲學范疇.進入20世紀，圍繞著數學基礎研究所產生的三大流派更是把兩者的關系推向了巔峰.

在我國歷史上，數學成果往往帶有一種哲學思辨的色彩，而哲學觀點又借助于數學語言來表述.如惠施提出的“至大無外，謂之大一；至小無內，謂之小一”，可以說是中國數學史上關于“無窮大”和“無窮小”這兩個數學概念的最早表述，然而這一命題，卻是為論證他“泛愛萬物，天地一體”的哲學觀.“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，揭示了一個趨于無限的分數系列，是中國數學史上最早的極限概念的萌芽，但這一思想的提出，也是哲學思辨的產物.《周易》的整個體系是“生于數，積于數，成于數，變通于數”，提出了一種運用數學手段去范圍天地、曲成萬物的觀點，鼓勵人們去窮極數的變化規律，這對于以后傳統數學的發展，也是有推動和促進作用的.《管子》可以稱為古代數學與哲學相結合的范例，在他的一整套法家理論中，哲學和計算卻是一個重要的部分和基本的原則.

哲學家芝諾于公元前5世紀提出了幾個著名的悖論，加上無理數的發現，使人們對于數學能否成為一門科學產生了懷疑，這就是第一次數學危機；由于初期的微積分邏輯上的缺陷，圍繞微積分基礎開始了大論戰，英國的唯心主義者大主教貝克萊的攻擊最為激烈，數學家、哲學家都紛紛介入，引起了第二次數學危機；哲學家羅素在集合論中發現的“羅素悖論”，震動了整個數學界，引起了數學界、哲學界激烈的爭論，為第三次數學危機.這三次數學危機，都和哲學家及其哲學思想相聯系，伴隨著哲學家、數學家之間激烈的論戰，反映了尖銳的哲學思想斗爭.

三、哲學思想與數學理論

哲學的觀點決定了數學的思想，哲學思想指導著數學理論的發展.哲學以博大的胸懷容納了數學的理論，數學以廣泛而深奧的知識豐富了哲學寶庫.

對立統一規律是唯物辯證法的實質和核心，是唯物辯證法的最基本的規律.任何事物自身都包含既相互聯系又相互排斥的兩個方面，兩者共處于矛盾的統一體中.運用對立統一規律，人們可以從有限認識無限，從部分認識整體，從近似認識精確.

在微積分中，有些概念既對立又統一，比如常量與變量、有限與無限、微分與積分等，可以說對立統一規律是貫穿于微積分的一條根本規律.極限概念是微積分的重要的概念，極限思想蘊含著豐富的辯證思想，是變與不變、過程與結果、有限與無限、近似與精確以及否定與肯定的對立統一.如數列極限limn→∞an=aε>0，N>0，n>Nan-a<ε，其中正數ε一方面具有絕對的任意性，這樣才能有an無限趨近于a，另一方面，正數ε又具有相對固定性，從而an-a<ε表明an無限趨近于a的漸近過程的不同階段，ε的絕對任意性是通過無限多個相對固定性的ε表現出來的，ε的這個兩重性質既對立又統一，從而使數列極限的ε-N定義，從近似轉化到精確，又能從精確轉化到近似，它是極限定義的精髓.極限是數學中體現哲學觀點和方法的極具代表性的概念，它是人類從有限到無限認識上的一次飛躍，使我們充分認識到有限到無限的過程，近似與精確的關系.

微分和積分是矛盾的兩個方面，是對立的，又是統一的，矛盾的雙方各以對立的一方為自己存在的條件，牛頓—萊布尼茲公式∫baf（x）dx=F（x）ba，F′（x）=f（x），x∈[a，b]，又進一步揭示了積分與微分的內在聯系，由此可見，這個基本公式是微分與積分對立統一關系的數學表達式，其內容是十分深刻的，被稱為微積分的基本公式.

運動與靜止之間的對立統一關系，在微積分中通過連續與離散間相互轉化得到了淋漓盡致的揭示.數學是一門充滿了對立統一規律的學科.對立統一規律是指導我們進行數學研究和數學教學的重要思想武器.

在唯物辯證法中，任何事物都是質和量的統一體.量變和質變既有區別又有聯系，兩者之間有著辯證關系.量變是質變的準備，量的變化達到一定的度，就不可避免地引起質變，只有質的變化才是事物根本性質的變化.微積分中從一元函數到二元函數，由于自變量的一個增加到二個，這個量變引起了質變，首先表現在自變量的變化方式上，由原來的二種到現在的無窮多種更確切的說是不可數種，使得二元函數許多性質與一元函數有本質的不同.

否定之否定規律揭示了事物自己發展自己的完整過程是經歷兩次否定、三個階段，即由肯定達到對自身的否定，并再由否定進到新的肯定——否定之否定.每一個數學理論的發展都符合否定之否定規律.在理論最初形成時，該理論得到肯定，隨著實踐的需要和研究的深入，該理論的不完善、不精確之處逐漸暴露出來并被否定，進而數學家們開始研究如何使該理論更完善、更精確，最終得出新的結論，達到新的肯定.任何事物的內部都包含著肯定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的對立統一.任何事物的內在矛盾都可以歸結為肯定和否定兩個方面，唯物辯證法從事物肯定和否定的對立關系中，揭示了事物發展是辯證否定的過程.微積分中無界、不連續、不一致連續等概念的定義都是通過對它的對立面有界、連續、一致連續的否定而得到的.

定積分的幾何背景是曲邊梯形的面積，按照化整為零（分割區間），以直代曲，求近似值，取極限的思想求出面積（積分），這種思想方法應用范圍的推廣便產生了無窮積分、瑕積分、多重積分、曲線積分、曲面積分.計算曲邊梯形的面積，首先將原來曲邊梯形分割成若干個小曲邊梯形，在每個小曲邊梯形中，視曲邊為直邊，以直邊梯形面積之和作為大曲邊梯形面積近似，其次，分割無限加細，取極限，這樣小直邊梯形面積轉化為大曲梯形面積，實現了“以曲代直”，這種方法是由曲到直再由直到曲，體現的哲學思想是由變到不變的否定之否定的辯證法思想，這樣“化整為零，積零為整”的方法，是微積分最基本的思想方法之一.

微積分有著豐富、典型、深刻的辯證法思想，因此在微積分教學中，以哲學思想來指導教學和學習，可以使學生站在較高的角度認識數學、理解數學，提高學生的觀察能力、思維能力、推理能力和創新能力.

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