試論利用數(shù)學(xué)模型將實(shí)際問題融入職中課堂

吳春紅

【摘要】本文結(jié)合日益深化的教育改革，運(yùn)用調(diào)查分析、文獻(xiàn)等方法，說明了利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是數(shù)學(xué)應(yīng)用的突破口，并闡述了其重要方法是數(shù)學(xué)建模，從而培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐精神和創(chuàng)新能力，把素質(zhì)教育落到實(shí)處.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模； 數(shù)學(xué)應(yīng)用； 職中教學(xué)

一 、由一組調(diào)查數(shù)據(jù)引發(fā)的思考

1.調(diào)查目的：通過調(diào)查，了解學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

2.調(diào)查方式：?jiǎn)柧硎?

3.調(diào)查對(duì)象及范圍：某職中二級(jí)學(xué)生100人及某大專院校學(xué)生100人（其中文科類50人，理科類50人）.

4.調(diào)查問卷及數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

問卷：

（1）數(shù)學(xué)對(duì)我專業(yè)課程的學(xué)習(xí)：A很有用 B比較有用 C用處不大 D沒有用

（2）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)為了：A學(xué)習(xí)知識(shí) B學(xué)習(xí)思想方法 C學(xué)習(xí)解題方法 D應(yīng)付考試

（3）數(shù)學(xué)的作用是：A生活中有用 B各行業(yè)中有用 C思維訓(xùn)練中有用 D考試有用

（4）現(xiàn)實(shí)中使用數(shù)學(xué)的情況：A經(jīng)常用 B一般 C很少用 D不用

（5）我對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題：A很喜歡 B一般 C不喜歡 D討厭

5.數(shù)據(jù)分析：從表中數(shù)據(jù)可以看出，職中與大專文科生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意見大體上是相同的，而大專理科生通過對(duì)數(shù)學(xué)的深入學(xué)習(xí)，逐步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的重要性（注：大部分大專理科生認(rèn)為數(shù)學(xué)有用是由于數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)及科技發(fā)展中起決定性作用）.這種差異的形成，一方面是由于數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)與實(shí)際生活相脫離，職中教學(xué)教育中還沒有將數(shù)學(xué)與實(shí)際相聯(lián)系作為一種重要任務(wù)來抓，教學(xué)中依舊按照傳統(tǒng)的方法注重理論知識(shí)和計(jì)算機(jī)能力；另一方面恐怕還是現(xiàn)行的教育制度的制約，教育觀是由教育制度決定的，考試作為現(xiàn)行教育制度中唯一評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的標(biāo)準(zhǔn)，就必定會(huì)促使數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的脫離.

6.問題的提出與展望：數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)踐，利用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決實(shí)際問題，是否是職中數(shù)學(xué)教學(xué)教育改革的側(cè)重點(diǎn)，這在教育界中觀點(diǎn)并不統(tǒng)一.然而不可否認(rèn)的是，近些年來的數(shù)學(xué)課程改革越來越注重將數(shù)學(xué)問題實(shí)際化，從另一個(gè)角度來說：數(shù)學(xué)應(yīng)用備受注重，相應(yīng)的，必定會(huì)引發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的反思及變化.

二、數(shù)學(xué)應(yīng)用及其社會(huì)價(jià)值

數(shù)學(xué)的應(yīng)用，一般指的是用數(shù)學(xué)的思想和方法尋求對(duì)科學(xué)事實(shí)和現(xiàn)實(shí)世界現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)和理解的過程，用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決生產(chǎn)生活與學(xué)習(xí)中的各種實(shí)際問題的過程.我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用有著精彩的描述：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各方面，無處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn).”

通過對(duì)生活、生產(chǎn)、實(shí)際問題應(yīng)用的訓(xùn)練，可以不斷提高職中學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促使他們掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，并能利用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察世界，處理和解決實(shí)際生活中遇到的各種問題，同時(shí)還能輔助其專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，為專業(yè)發(fā)展服務(wù).

近年來，社會(huì)對(duì)具備一定數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合性人才需求逐步提升，作為職業(yè)教育階段數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)適應(yīng)時(shí)代的要求，把數(shù)學(xué)應(yīng)用教育放在數(shù)學(xué)教學(xué)的首要位置上，重視學(xué)生數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用能力的培養(yǎng).

需要補(bǔ)充的是，職中數(shù)學(xué)教學(xué)中所強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)應(yīng)用，就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)于現(xiàn)實(shí)世界”應(yīng)當(dāng)與“應(yīng)用數(shù)學(xué)”相區(qū)分，讓職中學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)與實(shí)際問題相結(jié)合，建立巧妙多變的數(shù)學(xué)模型，輕松靈活地?fù)羝粕a(chǎn)、生活中遇到的難題.

三、在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的手段

在教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，需要不失時(shí)機(jī)地將實(shí)際生活中的各類問題引進(jìn)數(shù)學(xué)課堂.因此，筆者認(rèn)為可有以下的幾種方法：

1.在課程設(shè)置方面增強(qiáng)靈活性和實(shí)用性

課程設(shè)置應(yīng)注重時(shí)代、社會(huì)對(duì)學(xué)科的新要求，同時(shí)結(jié)合學(xué)生生活背景、地區(qū)的差異性，科學(xué)、系統(tǒng)地增加課程的靈活性和實(shí)用性.

2.開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的環(huán)境

在數(shù)學(xué)課堂中結(jié)合實(shí)際問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生把科技、社會(huì)等領(lǐng)域中的實(shí)際問題按照既定的目標(biāo)歸結(jié)為數(shù)學(xué)形式，以便于用數(shù)學(xué)方法求解得出更深刻的規(guī)律和屬性，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).要更好地實(shí)現(xiàn)這種目標(biāo)，就不能不考慮數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課.

3.給一些較純粹的數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)背景

對(duì)于一些純粹的數(shù)學(xué)問題，可為其設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)背景，增加課堂的趣味性，相應(yīng)地挖掘?qū)W生的思維潛能，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移.

實(shí)現(xiàn)以上幾種方法的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)課堂上所應(yīng)用的知識(shí)，不外乎都是數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模是聯(lián)結(jié)現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)學(xué)知識(shí)的重要橋梁.

四、數(shù)學(xué)建模的定義及過程

數(shù)學(xué)建模指的是以數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想為基礎(chǔ)，將生活實(shí)際的問題數(shù)學(xué)化，并對(duì)它求解和檢驗(yàn)的活動(dòng).它的全過程是：實(shí)際問題—純數(shù)學(xué)問題—數(shù)學(xué)問題的解是實(shí)際問題的解.由于這一過程體現(xiàn)了解決問題的真實(shí)性和全面性，因此是開展探究性學(xué)習(xí)的好題材，同時(shí)包含了合作學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)和探究性學(xué)習(xí)的諸多因素和作用.越來越多的國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育工作者認(rèn)為：學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握不全是由教師教出來的，而是由學(xué)生自己做出來的，數(shù)學(xué)建模正是這樣一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)的過程，體現(xiàn)了學(xué)和用的統(tǒng)一.

五、幾種實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型

例1 大小包裝問題

在超市購(gòu)物時(shí)你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象嗎？比如潔銀牙膏50 g裝的每支1.50元，120 g裝的每支3.00元，二者單位重量的價(jià)格比是1.2∶1.若牙刷的長(zhǎng)度是3 cm，而每次刷牙的牙膏用量以長(zhǎng)度與牙刷長(zhǎng)度相等為準(zhǔn)，請(qǐng)你對(duì)潔銀牙膏作調(diào)查，看看選用哪種包裝的牙膏最實(shí)惠（指每次刷牙時(shí)所用牙膏花費(fèi)最少）.

提示 決定其花費(fèi)的因素有：容量、價(jià)格、口徑.

若調(diào)查之后收集的數(shù)據(jù)為：50 g裝口直徑為0.7，120 g裝為1.0，請(qǐng)你對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行建模解答.

解 不妨設(shè)此牙膏的密度為a g/cm3（a>0）.

那么對(duì)于50 g包裝的：1.5·0.722·3πa50=0.011025πa；

而對(duì)于120 g包裝的：3.0·1.022·3πa120=0.01875πa.

由于0.01875πa>0.011025πa，所以使用50 g裝的比較實(shí)惠.

例2 游戲中的數(shù)學(xué)

有1～K共13張紙牌，如何排列這13張紙牌使得按照如下方法抽取，其順序恰好是1、2、3、…、K.方法：按一定順序?qū)⑦@13張紙牌排列在桌面上，抽出第一張，將第二張放到最后，再抽出第三張，又將第四張放到最后……如此循環(huán)，直到全部牌被抽出為止.

分析 這個(gè)問題事實(shí)上可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題：在圓周上按一定順序放置了1～K這13張牌，現(xiàn)要將這13張牌由小到大從圓周上除去，要求：除去第一張牌后，跳過一張未被除去的牌再除第二張牌，如此循環(huán)，直到全部牌從圓周上除去為止.

其流程圖如下圖所示：

圖 1 圖 2 圖 3

第一圈刪除的牌如圖1所示，第二圈刪除的牌如圖2所示，第三圈刪除的牌如圖3所示，只需要跑遍圓周三圈就可以將13張牌全部刪去.

通過這種數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移，將這樣一個(gè)有趣的現(xiàn)實(shí)中的游戲轉(zhuǎn)化成為了我們?nèi)菀捉鉀Q的簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題.

例3 優(yōu)化方案問題

三個(gè)家具商店購(gòu)買辦公桌：A需要30張，B需要50張，C需要45張.這些辦公桌由兩個(gè)工廠供應(yīng)：工廠1生產(chǎn)70張，工廠2生產(chǎn)80張.下表給出了工廠和商店的距離（單位：千米），假設(shè)每張每千米運(yùn)費(fèi)0.5元.尋求一個(gè)運(yùn)送方案使運(yùn)費(fèi)最少.

f=0.5（10x1+5x2+30x3+7x4+20x5+5x6），求f的最小值.

由x1+x2+x3≤70，

x4+x5+x6≤80，

x1+x4=30，

x2+x5=50，

x3+x6=45，

xi≥0，i=1，2，3，4，5，6.

結(jié)合上面兩式可得出：45≤x1+x2+x3≤70，

其中x1≤30，x2≤50，x3≤45.

于是函數(shù)f可化簡(jiǎn)為：

f=0.5（3x1-15x2+25x3+1435x6）.

顯然當(dāng)x2取得最大值50時(shí)，f可取最小值，且此時(shí)x1=x3=0，其最小值為f=0.5（-15×50+1435）=342.5.

代入驗(yàn)證此最小值是成立的.

六、結(jié) 語

數(shù)學(xué)建模進(jìn)入職中課堂，順應(yīng)了時(shí)代的要求，作為職中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，其作用是不可衡量的，把這個(gè)內(nèi)容作為一個(gè)重要任務(wù)來抓，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)及創(chuàng)新精神的最有效途徑.

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