2.1.1合情推理（教學設計）

李春香

教材說明：人教A版選修2-2《2.1合情推理與演繹推理》

課型：新授課

課時：1課時

學情分析

（一）學生已有知識基礎或學習起點

學生已經具備了基本的邏輯知識，有較強的邏輯推斷能力，掌握了簡單命題和復合命題，以及命題之間的推斷關系，即充分必要條件，能夠用已有的知識的引申去解決一些生活中常見的推斷問題.

（二）學生已有生活經驗和學習該內容的經驗

在前面學生已經通過對邏輯一章的學習，具備了基本的邏輯思維能力，結合已學過的數學實例和日常生活中的實例，具有了一定的探索，證明的經驗，了解了邏輯證明在數學以及日常生活中的作用.

（三）學生的思維水平以及學習風格

由于受以前傳統教學方式的影響，學生的數學證明思路仍然過于簡單和沒有邏輯性，還沒有形成一套完整的思維體系去解決數學問題的證明.因此學習風格上拖泥帶水，缺少謹慎思維和邏輯思維能力.

（四）學生學習該內容可能的困難

通過對本單元的課堂教學效果的分析可以看出學生在學習該內容的時候可能遇到如下困難：做歸納推理時思路比較單一，甚至歸納不出來；做類比推理時不能很好理解已有對象的性質.

（五）學生的學習方式和學法分析

由于學生的自我歸納能力較差，因此適合采用引導啟發式授課方式，和合作交流的學習方法.又由于各種實例都是數學中和生活中常見的規律或現象，講解時，應多幫助學生分析現象的本質，引發學生的思考，最后總結行之有效的推理模式和證明方法

教學內容分析

（一）教學的主要內容

本課的主要內容有：

合情推理（歸納推理，類比推理）

（二）教材編寫的特點和設計意圖

教材首先通過實例引出推理的概念，然后通過大量的實例學習歸納推理和類比推理兩種合情推理.有助于發展學生的思維能力，提高學生的數學素養

教學目標

（一）知識與技能

1.結合已學過的數學實例和生活中的實例，了解合情推理的含義

2.能利用歸納進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數學發現中的作用

（二）過程與方法

1.通過探索，研究，歸納，總結形成本節的知識網絡

2.讓學生認識到數學既是演繹的科學，又是歸納的科學，數學規律和結論的發現往往使用的是合情推理.

（三）情感態度與價值觀

1.結合本節內容，強調推理與其他學科以及實際生活的聯系，體會推理的意義及重要性

2.體會合情推理有助于培養學生進行歸納的嚴謹作風，從而形成實事求是好習慣.

教學重點

歸納推理及類比推理的定義

教學難點

（一）教會學生歸納推理的基本方法

（二）如何提高學生的數學思維能力

教學策略的選擇與設計

以教師為主導，以學生為主體，以能力發展為目標，從學生的認識規律出發進行啟發.在合情推理的講授中運用討論法、講授法調動學生積極性，引導學生在學習過程中體會數學的應用價值，感受知識的無窮魅力.

教學資源與手段

資源：三角板，白粉筆，彩粉筆，多媒體課件

手段：利用幻燈片加載大量實例，更加貼合實際，容易分析，加強理解.

教學過程設計

創設情境：

在日常生活中，我們經常會自覺或不自覺地根據一個或幾個已知事實（或假設）得出一個判斷.例如，當我們看到天空烏云密布，燕子低飛，螞蟻搬家等現象時，就會得出即將下雨的判斷.實際上這種思維方式就是推理.

問題：生活中還有哪些例子涉及推理？

導入新課：

1.哥德巴赫猜想：觀察4=2+2，6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7，16=13+3，18=11+7，20=13+7，…，50=13+37，…，100=3+97，猜測：任一偶數（除去2，它本身是一素數）可以表示成兩個素數之和.1742年寫信提出，歐拉及以后的數學家無人能解，成為數學史上舉世聞名的猜想.1973年，我國數學家陳景潤，證明了充分大的偶數可表示為一個素數與至多兩個素數乘積之和，數學上把它稱為“1+2”.

2.費馬猜想：法國業余數學家之王——費馬（1601—1665）在1640年通過對F0=220+1=3，F1=221+1=5，F2=222+1=17，F3=223+1=257，F4=224+1=65537的觀察，發現其結果都是素數，于是提出猜想：對所有的自然數n，任何形如Fn=22n+1的數都是素數.后來瑞士數學家歐拉，發現F5=225+1=4294967297=641×6700417不是素數，推翻費馬猜想.

新課講授：

1.教學概念：

① 概念：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理.簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.

② 歸納練習：（ⅰ）由銅、鐵、鋁、金、銀能導電，能歸納出什么結論？

（ⅱ）由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內角和180度，能歸納出什么結論？

（ⅲ）觀察等式：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7+9=16=42，能得出怎樣的結論？

③ 討論：（ⅰ）統計學中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，是否屬歸納推理？

（ⅱ）歸納推理有何作用？ （發現新事實，獲得新結論，是作出科學發現的重要手段）

（ⅲ）歸納推理的結果是否正確？（不一定）

2.教學例題：

①出示例題：已知數列{an}的第1項a1=2，且an+1=an1+an（n=1，2，…），試歸納出通項公式.

（分析思路：試值n=1，2，3，4 → 猜想an →如何證明：將遞推公式變形，再構造新數列）

②思考：證得某命題在n=n0時成立；又假設在n=k時命題成立，再證明n=k+1時命題也成立.由這兩步，可以歸納出什么結論？ （目的：滲透數學歸納法原理，即基礎、遞推關系）

③練習：已知f（1）=0，af（n）=bf（n-1）=1，n≥2，a>0，b>0，推測f（n）的表達式.

3.小結：①歸納推理的要點：由部分到整體、由個別到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；數列通項公式的歸納.

下面我們來看合情推理的另外一種形式，請大家先看下面的練習：

1.練習：已知 ai>0（i=1，2，…，n），考察下列式子：（ⅰ）a1·1a1≥1；（ⅱ）（a1+a2）1a1+1a2≥4；（ⅲ）（a1+a2+a3）1a1+1a2+1a3≥9.我們可以歸納出，對a1，a2，…，an也成立的類似不等式為 .

2.猜想數列11×3，-13×5，15×7，-17×9，…的通項公式是 .

剛才我們做這兩個小練習都是在不自覺中模仿給出的實例去“照葫蘆畫瓢”.實際上，我們人類的許多發明和重大發現，都是通過這種方式得到的.

魯班由帶齒的草發明鋸；人類仿照魚類外形及沉浮原理，發明潛水艇；地球上有生命，火星與地球有許多相似點，如都是繞太陽運行、繞軸自轉的行星，有大氣層，也有季節變更，溫度也適合生物生存，科學家猜測：火星上有生命存在.以上都是類比思維，即類比推理.

1.教學概念：

① 概念：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理.簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.

② 類比練習：

（ⅰ）圓有切線，切線與圓只交于一點，切點到圓心的距離等于半徑.由此結論如何類比到球體？

（ⅱ）平面內不共線的三點確定一個圓，由此結論如何類比得到空間的結論？

（ⅲ）由圓的一些特征，類比得到球體的相應特征.（教材P81 探究 填表）

小結：平面→空間，圓→球，線→面.

③ 討論：以平面向量為基礎學習空間向量，試舉例其中的一些類比思維.

2.教學例題：

① 出示例1：類比實數的加法和乘法，列出它們相似的運算性質.（得到如下表格）

②出示例2：類比平面內直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質的猜想.

思維：直角三角形中，∠C=90°，3條邊的長度a，b，c，2條直角邊a，b和1條斜邊c；

→3個面兩兩垂直的四面體中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°，4個面的面積S1，S2，S3和S

3個“直角面”S1，S2，S3和1個“斜面”S.→ 拓展：三角形到四面體的類比.

類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比問題.

——數學家波利亞

3.小結

歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，統稱為合情推理.

課堂小結：

教學反思

（一）目標的達成

通過教師的引導和啟發，學生學會了如何進行歸納推理與類比推理，如何正確地歸納出一般結論，并記住了一些常用結論.通過本單元的學習，達到了鞏固知識和提高能力的雙重目的.

（二）教具的使用

幻燈片能有效增大課堂容量，節省了教師抄題的時間，可以把更多的時間留給學生思考，交流討論.而且對于幾何問題的證明更加形象逼真.

（三）遇到的問題

1.由于中國文化歷史悠久，很多字詞在不同的語境里含義各不相同，在分析個別日常生活中的實例時，容易產生歧義.

2.在類比推理的教學過程中，發現個別同學不能很好理解原有實例的產生過程，以至于做類比結論時產生偏頗.

（四）優點、不足和改進計劃

1.優點：本節課授課，使用數學語言謹慎周密，能培養學生良好的語言習慣，給學生樹立很好的榜樣；授課過程中始終堅持學生為主體的思想，通過給學生提供自主探索和獨立思考的時間和空間，引導他們發現實例中的規律，以及總結形成知識網絡.

2.不足：在進行歸納推理和類比推理教學的時候，對學生提出的一些偏離教材的答案準備不足，個別問題沒有及時糾正；題目的設計上缺少平面幾何與空間幾何的類比題目.

3.改進計劃：發揚自己的優勢，繼續擴大自己的知識面，多做一些推理論證的題目，開闊自己的視角和思路；在以后的教學中更加深入的挖掘教材的內涵，多做準備工作，盡量多的考慮到學生可能有的各種反應；課堂教學過程中，繼續保持良好的語言習慣，帶動學生嚴謹的思考問題.