任何數學問題的解決都不會永遠地結束

喬希民 羅俊麗 岳毅蒙

本文是陜西省教育科學“十一五”規劃課題（SGH10119）與商洛學院教改項目（12jyjx109）的部分研究成果.

陜西省教育科學“十二五”規劃課題（SGH13406），商洛學院教改項目（13jyjx118）

“任何問題都不會永遠地結束”是加拿大于1975年創刊著名雜志《Crux Mathematicorum》的問題解答欄的一句名言，也體現了數學問題解決過程的無窮樂趣.本文僅擷取《數學通報》1964年“數學問題解答欄”中的一朵小花，以釋筆者1978年上高中時竟無一人正確解答出板報欄征解該問題之疑義，緩解時至今日一直縈系于心頭之悔悟.經歷三十多年數學問題學習，使我們感悟到數學問題解決過程的無窮樂趣與智慧技能的自然生成，以及思維方式的至善至真至美.

1.一則流行49年的經典數學問題與解答

《數學通報》1964年第1期刊登了雷耀波先生提出的這樣一個數學問題：

求方程x+xx2-1=3512（1）

的實數根.

同年第2期給出了供題人的解答（不妨稱之為“解法1” ）：

解法1 由原方程可知|x|>1，故可令x=secφ，則x2-1=tanφ，而原方程化為

secφ+secφtanφ=3512， 即 sinφ+cosφsinφcosφ=3512.

兩端平方 4（1+sin2φ）sin22φ=1225144，

即1225sin22φ-576sin2φ-576=0，

解得 sin2φ=2425，那么cos2φ=±725.

所以cosφ=1±7252，

即 cosφ=45或cosφ=35.這里，必須取cosφ>0，否則x<0，不適合原方程.

從而secφ=54或53.所以x1=54，x2=53，此即原方程的解.

2.新的探討

征解問題自《數學通報》1966年第2期《引入新未知數的無理方程》一文引用之后，數以百計的論文、教材或專著都用該問題作為用三角代換法求解無理方程問題的典型范例，就連張奠宙與宋乃慶主編的《中學代數研究》（高等教育出版社，2006年，P74-75） 、葉立軍主編《初等數學研究》（華東師范大學出版社，2008年，P111）、程曉亮與劉影主編《初等數學研究》（北京大學出版社，2011年，P83）、李永新與李莉主編的《中學代數研究與教學》（科學出版社，2012年，P82）等仍采用該問題的典型解法，可謂“三角代換法求解無理方程問題”的經典名題，這是無可厚非的.但如果我們的思想方法或思維方式更深入些、更靈活些，還原問題解決的本質，那么就自然地想到無理方程的求解思路是化歸為可解的整式方程，或者通過簡單換元化成可解的二元方程組等.這樣，就不難得到以下7種別解，達賞析數學問題之目的.

解法2（配方法） 依題意知原方程的定義域為 x|1

原方程移項、平方得 x2x2-1=3512-x2，

即 x2=3512-x2x2-3512-x2，

也就是 x2+3512-x2=3512-x2x2.

配方，得x+3512-x2=3512-xx+12-1，

即 3512x-x2+12=372122，

所以 3512x-x2+1=±3712，

由 3512x-x2+1=3712，解得x=54或x=53.

又1

綜上所述，原方程的實數解為x=54或x=53.

解法3（換元與配方結合法） 不妨設xx2-1=y，則原方程可化為

x+y=3512，（2）

xx2-1=y.（3）

由式（3），得x2=x2y2-y2.配方有（x+y）2=（xy+1）2-1，并將式（2）代入，得

xy+1=±3712.注意到x>0，y>0，所以xy+1=-3712不合題意，故舍去.

從而有x+y=3512，

xy=2512.

不難求得x=54或x=53.

這就是所求原方程的實數解.

解法4（構造直角三角形） 從題設所給數據觀察分析，發現3512=54+53，據此可知，數組3，4，5可構成一直角三角形.如圖所示，依三角函數定義有

secB=54，cscB=53.

注意到由題意可知1

解法5 （平方法與換元法） 由題設可知1

11x+11-1x2=3512.

則兩邊平方得 11x2+11-1x2+21x1-1x2=1225144，

即 11x2（1-1x2）+21x1-1x2=1225144.（2）

不妨設11x1-1x2=y，則方程（2）可化為y2+2y=1225144，

即144y2+288y-1225=0，

解得y=2512或y=-4912（不合題意，故舍去）.

由11x1-1x2=2512，得

144x4-625x2+625=0.

解得x2=2516，x2=259.

由1

解法6（因式分解法） 原方程可化為

（12x2-35x）2-288x2+840x-352=0.（2）

視方程（2）的第1項為（12x2-35x）2，第2項為-288x2+840x，第3項為-352.若要求方程（1）的實數解，則方程（2）可化歸成關于x的兩個二次方程的積的形式，由于-288x2+840x≠0，所以-352不能寫成-35×35.注意到35=5×7，此時將有-352寫成-52×72試一試，看是否用十字相乘法得到-288x2+840x，即

-49（12x2-35x）+25（12x2-35x）=-288x2+840x.

這樣方程（2）就可化歸成

（12x2-35x+25）（12x2-35x-49）=0，

以下同解法2.

解法7的思路（代換關系式法） （主要運用類比歸納的方法，得到了一種一元一、二、三次方程代換關系式求解方法后，自然得到一元四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0（a≠0）的代換關系式x=y-b4a及根的表示形式來求解.）

原方程可化為144x4-840x3+937x2+840x-1225=0.（2）

作代換關系式x=y+3524，并代入求解關于y的一元三次方程.

以下用最常規方法求解，請有興趣的讀者給出.

解法8的思路（移項、配方法） 原方程可化為

x4-356x3+937144x2+356x-1225144=0.

將937144x2+356x-1225144移至右邊，將剩余項配方有

x2-3512x+y2=1225144+2y-937x2+-356y-356x+y2+1225144.（2）

很明顯，左邊為一完全平方式，而右邊關于x的二次三項式成為完全平方式時，有

-356y-3562-4（2y+1225144-937）（y2+1225144）=0.（3）

由此求得y值，若方程（2）兩邊開平方后，即可化歸為可解的兩個關于x的二次方程.這種解法的關鍵是從方程（3）求出y值，但其本質仍是解法2的“笨拙”變形.

3.評 注

解法1是無理方程中含有x2-a2，x2+a2，a2-x2時，依次可用x=asecθ，x=atanθ，x=asinθ（或acosθ）作代換的常用方法；解法2是常用的求解無理方程的思想方法，只需稍加注意思維方法的靈活性即可；解法3體現了換元法與配方法的基本思路，比較解法2與解法3可知，換元法只是一種解決問題的技能和技巧，并不能改變問題解決過程的實質.解法4從觀察分析數據間的關系著手，活用類比聯想法，構造幾何圖形，使我們欣賞到了問題解決的另類美；解法5則使我們享受到了問題解決過程的深度美.解法7從本質上講，是一元四次方程的常規解法，解法8則是一元四次方程的一種特殊解法.而解法6則為高次方程的又一種通法——因式分解法，也可采用待定系數法求解，即設（12x2-35x+a）·（12x2-35x+b）=（12x2-35x）2-288x2+840x-352，求出a，b，從而求出原方程的實數解.當然也可設解法7中的式（2）左邊為（12x2+ax+b）（12x2+cx+d），從而求出a，b，c，d，同樣求出原方程的實數解.

還有很多優美漂亮的思考方法在期待著我們.