例談裂項相消法在數列不等式證明中的常見應用

胡宗興

筆者在教學中發現數列不等式證明在歷年的高考中時有出現，而裂項相消法則在其中扮演重要角色，所以筆者從近年的高考試題和一些典型的例子來剖析裂項相消法在數列證明中的常見應用.

1.利用等差數列裂項相消

例1 （2013廣東）.設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，2Snn=an+1-13n2-n-23，n∈N*.

（1）、（2）略

（3）證明：對一切正整數n，有1a1+1a2+1a3+…+1an<74.

解 （3）由（2）可知an=n2（n∈N*），

∴1an=1n2<1n2-1=1（n-1）（n+1）=121n-1-1n+1.

即1a1+…+1an=1+…+1n2<1+121-13+1212-14+…+121n-1-1n+1=1+121+12-1n-1n+1=74-121n+1n+1<74.

2.利用對數性質裂項相消

例2 （2013全國大綱）已知函數f（x）=ln（1+x）-x（1+λx）1+x.

（Ⅰ）若x≥0時，f（x）≤0，求λ的最小值；

（Ⅱ）設數列{an}的通項an=1+12+13+…+1n，證明：a2n-an+14n>ln2.

剖析 若k>0時，則lnk+1k=ln（k+1）-lnk，利用它來達到裂項相消的目的.

解 （Ⅰ）略 （Ⅱ）令λ=12，由（Ⅰ）知，當x>0時，f（x）<0，即x（2+x）2+2x>ln（1+x）.取x=1k，則2k+12k（k+1）>lnk+1k.于是a2n-an+14n=∑2n-1k=n12k+12（k+1）=∑2n-1k=n2k+12k（k+1）>∑2n-1k=nlnk+1k=ln2n-lnn=lnn.所以a2n-an+14n>ln2.

3.利用根式裂項

例3 求證：1+222+332+…+nn2<3.

證明 因為nn2=1nn=2nn+nn

<2（n-1）n+nn-1=2n（n-1）（n+n-1）=2（n-n-1）n（n-1）=21n-1-1n（n≥2），

故不等式右邊<1+211-12+…+21n-1-1n=1+21-1n=3-2n<3，即原不等式成立.

評注 將不等式中各項放縮后進行裂項求和，最后在進行放縮，使之成立.

4.利用排列組合裂項

例4 對于n∈N，求證：（1+1n）n<3.

剖析 因為不等式左邊有n次方，故想用二項式定理來展開，再放縮通項，裂項相消.

證明 當n=1時，2<3，結論顯然成立，

當n≥2時，有

Ckn（1n）k=n（n-1）（n-2）…（n-k+1）nkk！<1k！<1k（k-1）=1k-1-1k（k≥2）.

∴1+1nn=1+C1n1n+…+Ckn1nk+…+Cnn1nn<2+1-12+…+1k-1-1k+…+1n-1-1n=3-1n<3.

5.利用三角函數裂項

例5 （2011·安徽卷） 在數1和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，將這n+2個數的乘積記作Tn，再令an=lgTn，n≥1.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）設bn=tanan·tanan-1，求數列{bn}的前n項和Sn.

解答 （1）略.

（2）由題意和（1）中知bn=tan（n+2）·tan（n+3），n≥1，

另一方面，利用

tan1=tan[（k+1）-k]=tan（k+1）-tank1+tan（k+1）·tank，

得tan（k+1）·tank=tan（k+1）-tanktan1-1.

所以Sn=∑nk=1bk=∑n+2k=3tan（k+1）·tank

=∑n+2k=3tan（k+1=tank）tan1-1

=tan（n+3）-tan3tan1-n.

以上是筆者在教學中的一點體會，從中我們可以發現裂項相消在數列不等式證明中應用的頻率很高，它可以和很多知識和內容結合，對學生應變能力有較高的要求，可培養學生創新思維，故在今后的教學中應加以重視.

【參考文獻】

[1] 夏正勇.不等式證明中對“放縮”的幾點思考[J].中學數學（高中版），2012，11.

[2]胡文，秦偉偉.感受“裂項相消”的數學美[J].數學教學研究，2009，5.