整體思維的巧用

葉志標

【摘要】整體思維的幾種方式在解題中的巧用.

【關鍵詞】整體思維； 巧用

某些數學問題用常規方法解答，可能難度較大；若從另一角度考慮，放在整體上來分析，突出問題的整體結構，從整體入手，往往會“柳暗花明又一村”！

一、整體計算

例1 已知sinθ-cosθ=1/2，求cos3θ-sin3θ的值.

分析 若把已知sin2θ+cos2θ=1結合，求出sinθ，cosθ的值，再代人計算比較繁.若從整體入手，則較輕松.

由sinθ-cosθ=12，兩邊平方，得1-2sinθcosθ=14，

∴sinθcosθ=38.

∴原式=（cosθ-sinθ）（cos2θ+sinθcosθ+sin2θ）=-12×1+38=-1116.

例2 （12江西八校聯考）已知單位向量e1，e2的夾角為60°，則|2e1-e2|=.

分析 把2e1-e2視為一個整體.

∵|2e1-e2|2=（2e1-e2）2=4e21-4e1·e2+e22=4e21-4|e1|·|e2|cos60°+|e2|2=4×12-4×1×1×12+12=3.

∴|2e1-e2|=3.

二、整體設元

例1 有A，B，C三種文具，若購買A文具4件，B文具7件，C文具1件，需51.3元；若購買A文具5件，B文具9件，C文具1件，需62.5元.問三種文具各買一件需多少元？

分析 已知條件只有兩個，無法分別求出三種文具每件的價錢，但是可以把三種文具各買一件視為整體.

設A，B，C三種文具每件的價格分別為x元、y元、z元，則

4x+7y+z=51.3，

5x+9y+z=62.5.

上下兩個方程分別為①、②，①×4-②×3，得

x+y+z=17.7，即三種文具各買一件需17.7元.

例2 在等差數列{ an}中，已知d=3，且a1+a3+a5+…+a99=80，求數列的前100項和S100.

分析 若按公式需要知道首項a1或者最后一項a100，比較繁瑣.若把已知當作一個整體則較方便.

由等差數列的定義知：a2+a4+a6+…+a100=（a1+d）+（a3+d）+（a5+d）+…+（a99+d）=a1+a3+a5+…+a99+50d=80+50×3=230.

∴S100=a1+a2+…+a100=a1+a3+a5+…+a99+a2+a4+a6+…+a100=80+230=310.

三、整體代入

例1 已知x=1+i，求5x3-7x 2+4x的值.

分析 若把x=1+i直接代入求解，較繁.若把已知化為x-1=i，再代入，則難度會降低不少.

∵x=1+i，∴x-1=i兩邊平方整理，得x2-2x+2=0，∴原式=（x2-2x+2）（5x+3）+2=2.

例2 如果a是方程x2-3x+1=0的根，試求2a5-5a4+2a3-8a2a2+1的值.

分析 從已知方程求出x的值，再代入，運算量大.從整體入手就輕松多了.

∵a是方程x2-3x+1=0的根，

∴a2-3a+1=0，∴3aa2+1=1，

原式=（a2-3a+1）（2a3+a2+3a）-3aa2+1

=-3aa2+1=-1.

例3 若x=1+52，則x3+x+1x4=.

分析 ∵x=1+52，∴x2-x=1，

∴原式=x3+x+（x2-x）x4=x3+x2x4=x+1x2=x+x2-xx2=x2x2=1.故填1.

例4 若x=19-83，則分式x4-6x3-2x2+18x+23x2-8x+15=

.

分析 在已知條件是等式的求值中，把已知條件變形后，整體代入求值，會化難為易.

∵x=19-83=（4-3）2=4-3，

∴4-x=3.

兩邊平方整理，得x2-8x+13=0，

∴原式=（x2-8x+13）（x2+2x+1）+10（x2-8x+13）+2=102=5，

故填5.

結語 整體思想與華羅庚的統籌法有異曲同工之妙！在解題中，如果能夠根據題目的特點，靈活利用整體思想，往往能達到化繁為簡，化難為易.因此，它對開拓學生視野，活躍學生思維，培養興趣都起著舉足輕重的作用！