關于lnx的一個上界估計及應用

鄧朝華

最近，筆者在研究lnx的性質偶然獲得了lnx的一個上界估計，本文將證明這個不等式并給出它的一個應用.

定理 lnx≤2x-2（x2+1）（x>0），當且僅當x=2不等式取等號.

證明 設f（x）=lnx-2x+2（x2+1）（x>0），則

f'（x）=1x-2+2xx2+1，

f″（x）=-1x2+2·x2+1-x2x2+1x2+1

=2（x2+1）x2+1-1x2，

∵ （x2+1）3=x6+3x4+3x2+1>2x4，

∴（x2+1）x2+1>2x2.

2（x2+1）x2+1<1x2f″（x）<0

f′x是減函數，而f′（1）=0，

∴00f（x）是增函數，

x>1時 f′（x）<0f（x）是減函數，

∴f（x）max=f（1）=0，

∴lnx≤2x-2（x2+1）（x>0）.定理獲證.

用此結論可以輕易證明文1提出的猜想：

若a，b，c>0，且abc=1，

則a2+1+b2+1+c2+1≤2（a+b+c）.（1）

證明 ∵ abc=1，∴lna+lnb+lnc=0，

由定理有不等式x2+1≤2x-12lnx，分別令x=a，b，c將所得三式疊加得

a2+1+b2+1+c2+1≤2（a+b+c）-12（lna+

lnb+lnc）=2（a+b+c）.

因此（1）式成立，猜想獲證.顯然（1）式可以毫無困難地推廣到更多變元的情形.

【參考文獻】

[1]宋慶.從一個簡單的不等式命題說開去[J].中學數學研究，2010（10）.P19-P21.

[2]黃傳軍.對幾個代數不等式的研討[J].數學通訊，2010年第6期（下半月），P42.

[3]王建榮，吳良.用琴生不等式證明一類含“abc=1”條件的不等式[J].數學通訊，2012年第1期（下半月），P29～P30.