函數的零點和方程

鞏繼忠

【摘要】函數的零點和方程的根密不可分，在高考試題中常見，本文對函數的零點和方程的根之間的聯系，根據幾道例題從一個全新的思路介紹在高考實戰中的解題方法.

1.利用零點存在性定理判斷

設f（x）=ex+x-4，則函數f（x）的零點位于區間

A.（-1，0） B.（0，1） C.（1，2） D.（2，3）

解 f（x）=ex+x-4在實數集上是增函數

f（-1）=e-1-5<0，f（0）=-3<0 f（1）=e-3<0，f（2）=e2-2>0.

則f（1）f（2）<0.

所以選C.

2.利用解方程判斷

若函數f（x）=log2（a-2x）+x-2存在零點，則a的取值范圍？

解 若f（x）存在零點，則方程log2（a-2x）=2-x有根，

即22-x=a-2x有根.

令2x=t，0

則原方程等價于4t=a-t有正根

即t2-at+4=0有正根（-a）2-4×4≥0，，

t1+t2=a>0.

所以a≥4.

3.利用函數的性質判斷

已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]內有且只有一個根x=12，則f（x）=0在區間[0，8]內根的個數為？

解 由f（x+1）=f（x-1）可知f（x+2）=f（x）

所以函數f（x）關于直線x=1對稱，因為函數f（x）=0在區間[0，1]內有且只有一個根x=12，所以函數f（x）=0在區間[0，8]內根的個數為8個.

4.利用數形結合判斷

已知函數f（x）=2xx≥2

（x-1）3x<2 若關于x的方程f（x）=k有兩個不同的實數根，則實數k的取值范圍？

解 作出函數f（x）的圖像，

由圖像可知要使f（x）=k有兩個不同的實數根，則有0

5.利用導數判斷

若函數f（x）=1+x-x22+x33-x44+…-x20122012+x20132013cos2x在區間[-3，3]上的零點的個數為？

解 根據x∈[-3，3]可知x=±π4，±3π4，

故cosx=0有4個零點，

又令g（x）=1+x-x22+x33-x44+…-x20122012+x20132013

g′（x）=1-x+x2-x3+x4-…-x2011+x2012=1+x20131+x，g′（x）>0.

故函數在[-3，3]上遞增，g（-1）<0，g（0）>0，所以函數g（x）有且只有一個零點，

所以函數f（x）有5個零點.