例談導數在函數問題中的應用

宋宇逸 歐麗梅

【摘要】函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型.導數不僅是一個特殊函數，而且也是分析和解決問題的有效工具.導數進入高中數學教材之后，給傳統的高中數學內容注入了生機與活力，為中學數學問題的研究提供了新視角、新方法、新途徑，拓寬了高考的命題空間，新課標提出了更高的要求.函數與導數的關系問題便成為了近年來高考的亮點、熱點問題，真可謂函數因導數而精彩.

【關鍵詞】單調性；單調區間；極值；最值；不等式

【基金項目】本文系“來賓市教育科學“十二五”規劃A類課題”（項目編號：LBJK2012A019）的研究成果之一

函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，其思想方法貫穿于高中數學課程的始終，是高中數學的主干知識.導數進入高中數學教材之后，給傳統的高中數學內容注入了生機與活力，為中學數學問題（如函數問題、不等式問題、解析幾何問題等）的研究提供了新視角、新方法、新途徑，拓寬了高考的命題空間，真可謂函數因導數而精彩.高中總復習階段在函數這一單元模塊教學中，常常利用導數可以解決函數中的四大熱點問題：求函數的單調性、單調區間；求函數的極值；求函數的最值；利用函數的單調性證明不等式.

導數是一個特殊函數，它的給出和定義始終貫穿著函數思想.自從2000年廣西高中采用新教材、新課程標準以來，就增加了導數的內容，隨著課改的不斷深入，導數知識考查的要求逐漸加強，而且導數已經由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時不可缺少的工具，也是高考的熱點.近年來很多省的高考題中都出現以函數為載體，通過研究其圖像性質來考查學生的創新能力和探究能力的試題.本人結合教學實踐，就導數在函數中的應用進行了初步探究.

一、利用導數求函數在某點處的切線及斜率

例1 （2011年江西省數學高考文科試題）曲線y=ex在點A（0，1）處的切線斜率為（ ）.

A.1 B.2 C.e D.1e

分析 y′=ex，當x=0時，y′=e0=1，故選A.

二、利用導數判斷函數的單調性、求函數的單調區間

例2 （2008福建高考題）已知函數f（x）=x3+mx2+nx-2的圖像過點（-1，-6），且函數g（x）=f′（x）+6x的圖像關于軸對稱.

（1）求m、n的值及函數y=f（x）的單調區間.

（2）若a>0，求函數y=f（x）在區間（a-1，a+1）內的極值.

分析 （1）由f（x）過點（-1，-6）及g（x）的圖像關于y軸對稱可求m，n.由f′（x）>0，f′（x）<0可求單調增區間和減區間.

（2）先求出函數f（x）的極值點，再根據極值點是否在區間（a-1，a+1）內進行討論.

切注：在解答第（2）問的過程中容易出現遺漏“a=1”的情況或把a=1 歸入0

三、利用導數求函數的極值

例3 （2011年浙江省數學高考理科試題）設函數f（x）=（x-a）2lnx，a∈R.（1）若x=e為y=f（x）的極值點，求實數a ；（2）求實數a的取值范圍，使得對任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立.

分析 對于第（1）小題比較容易解決.由f′（e）=0，可求得a=e或a=3e，再檢驗即可.

對于第（2）小題是常見的含參數不等式恒成立求參數范圍問題，注意到當x∈（0，1]時不等式恒成立，因而等價于當x∈（1，3e]時，不等式（x-a）2 lnx≤4e2恒成立.

思路1：先特殊化，由f（3e）≤4e2，得

實數a的取值范圍為3e-2eln3e≤a≤3e+2eln3e

再求f（x）的最大值，為此討論f（x）的單調性，而又需構造輔助函數通過估計零點，從而解決問題，但解題過程曲折繁冗.

思路2：由lnx>0，可參數分離.又轉化為當x∈（1，3e]時，不等式a≥x-2elnx及a≤x+2elnx都恒成立，于是問題可轉化為求函數g（x）=x-2elnx （1

思路3：將不等式化為（x-a）24e2≤1lnx，問題轉化為當x∈（1，3e]時，函數g（x）=（x-a）24e2的圖像在h（x）=1lnx圖像的下方，然后利用數形結合思想，便可得到結論.

本題主要考查函數極值的概念、導數運算法則、導數應用、不等式等基礎知識，同時考查推理論證能力和分析、解決問題的能力.三種解法的共性是都利用了化歸思想與函數思想，但轉化的手段迥異，思路1直接轉化為求f（x）的最大值；思路2則通過變形（參數分離）轉化為求2個易求最值的函數的最值；思路3則通過恰當變形轉化為2個圖像的關系.很多省份的導數壓軸題都有不同的解法，旨在考查不同思維層次的考生的不同思維水平，使試卷具有較高的區分度.

四、利用導數求函數的最值

例4 求函數 f（x）=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最大值和最小值.

分析 f′（x）=6x2-6x-12=6（x-2）（x+1），

令f′（x）=0得 x=2，x=-1（舍去）

比較下列函數值：f（2）=-15 ； f（0）=5；f（3）=-4.

得出函數f（x）的最大值為5 ； 最小值為-15.

切注 這里容易出現f（-1）=12 為函數的最大值，主要原因是沒有看清題目的條件所致.

小結 求函數在某閉區間上的最值的步驟是：

（1）求出f′（x）；

（2）令f′（x）=0，解出函數的所有駐點；

（3）求出函數在所有駐點和邊界點處的函數值，其中最大者即為函數的最大值，其中最小者即為函數的最小值.

五、利用函數的單調性證明不等式

例5 已知x>1，證明不等式x>ln（1+x）.

分析 設f（x）=x-ln（1+x），x>1.

f′（x）=1-1x+1=xx+1，由x>1知f′（x）>0.

∴f（x）在（1，+∞）上是增函數，又f（1）=1-ln2>0.

∴f（x）>0，即x>ln（1+x），（ x>1）

這道題的證明需要構造恰當的輔助函數，從而轉化利用函數的單調性來實現證明.另外對于含參數的不等式求解、含參數的不等式恒成立等等問題也是高考考查的熱點，解決這些問題均需要構造恰當的輔助函數，轉化為前面四大問題來解決.函數是中學數學研究導數的一個重要載體，函數問題涉及高中數學較多的知識點和數學思想方法.總之，導數作為一種工具，在解決數學問題時使用非常方便，尤其是可以利用導數來解決函數的單調性、極值、最值以及切線問題、利用函數的單調性證明不等式.在導數的應用過程中，要加強對基礎知識的理解，重視數學思想方法的應用，達到優化解題思維，簡化解題過程的目的，更在于使學生掌握一種科學的語言和工具，進一步加深對函數的深刻理解和直觀認識.只有加強數學知識內在的聯系，抓住數學的本質，突出概念的理解和運用，突出思維能力的培養，才能真正提高學生的數學素質.教學中應做到“三性”，即對知識理解的深刻性、掌握的全面性、運用的靈活性，以使學生形成綜合性的知識體系.只有在課堂上適度地讓學生探究，才能讓學生適應高考的新問題.導數問題在很多省份的高考試卷中處于壓軸題的位置，需要考生在新的情景中靈活運用知識、方法解決問題，對學生的數學能力和數學素質提出了很高的要求.這昭示我們：高三數學復習應注意培養學生對問題分析的態度及探究的目光，從人的可持續發展所需要的能力來看，這是十分必要的.在教學中，引入條件或結論具有開放性的問題和某些從實際生活中提出的自己尋求答案的問題，或者對課堂上的某些問題適當加以延伸、推廣等，并引導學生加以解決，這會使課堂教學充滿生機和活力，有利于學生思維能力得到提升.

有人說，高考是殘酷的，是因為千軍萬馬過獨木橋造成的，同學們，不妨把它當作一次身心的考驗吧，經過了汗水和淚水的洗禮，你的人生也將從此步入一個嶄新的階段，希望很多年之后.回想起這段所做的努力，你會欣然一笑——一切都是值得的.