一個“錯誤”解答具有的教學價值

章志生

【摘要】正確解決排列組合問題關鍵是認清問題特征，選擇合適方法.確定正確的分類標準并貫穿解題過程的始終，是處理“全能”問題的關鍵.

【關鍵詞】排列組合；全能問題；方法

在排列組合問題的教學中，一題多解似乎是不少老師特別是年輕教師公認的禁忌，因為很多排列組合應用題換一種解法，往往很有道理卻又答案不同，要在諸多方法當中辨出個李逵和李鬼真的很傷腦筋.所以不少老師在這一部分的教學中十分謹慎，不敢隨意變題，甚至輕易否定學生的其他思路，怕自己被繞進去.而教者以為，善教者能于無疑處起疑，我們又怎能在有疑處回避呢？相反，即便是錯誤的思路，卻也是訓練學生思維能力的絕好機會，怎可隨便放過！

教者在教學中就遇到了這樣一個情況，在一次練習的講評課上，一道常見的排列組合問題由不同的學生用不同的方法得出了不一樣的答案，而且公說公有理婆說婆有理，到底誰是誰非呢？教者靈機一動，暫先不置可否，順勢開展了一次課堂探討活動.

1.問題的導入

問題是這樣的：某歌舞演出隊共有10人，其中7人能唱歌，5人會跳舞，今從10人中選2人唱歌2人跳舞，問共有多少種不同的選派方案？

這是排列組合問題中的一種常見的易錯題，通過簡單分析學生容易得到其中既會唱歌又會跳舞的是7+5-10=2人，只會唱歌的是7-2=5人，只會跳舞的是5-2=3人.因其中有2人既會唱歌又會跳舞，屬于“全能”型，所以平時教學中我們常把類似問題通俗地稱為“全能”問題或“多面手”問題.教學中教者結合多數同學的意見引導學生抓住一個線索：唱歌選手的來源！分三類情形：

第一類，從只會唱歌的5人中選2人唱歌，此時還有5人會跳舞，從中任選2人跳舞，有C25·C25=100種方法；

第二類，從只會唱歌的5人和全能的人中各選選1人唱歌，從剩下的4個會跳舞的人中選2人，有C15·C12·C24=60種方法；

第三類，2名全能選手全被選出唱歌，剩下3名會跳舞者選2人，有C22·C13=3種.

故本題共有100+60+3=163種不同的方法.

因課前曾讓同學們預習過，所以同學們對本題也有過比較深入的思考.大家理解了這種思路后，立刻對自己的原有思路進行反思，紛紛提出自己的見解，于是引發了如下的討論.

2.“錯誤”的產生與爭論

學生甲：因為7+5=12>10，這說明，10人中有2人既會唱歌也會跳舞，有5人只會唱歌，有3人只會跳舞.于是我分兩類考慮：第一類，從只會唱歌的5人中選2人唱歌再從會跳舞的5人中選2人跳舞；第二類，從只會跳舞的3人中選2人跳舞再從會唱歌的7人中選2人唱歌.這樣共有C25·C25+C23·C27=163種不同的選派方案.

巧了，正好與參考答案吻合，而且各類人都用到了.甲的方法對不對呢？教者啟發大家共同思考.

于是學生乙很快站起來指出：甲同學的解決方案初一看似乎合理，但是細一想，漏洞是很明顯的，兩名全能選手中1人唱歌1人跳舞的情形沒有考慮到，而兩類方法中2名全能選手均未被選中的情形又重復計算了.

教者：那么重復計算的部分和遺漏的部分能否抵消呢？

大家快速計算：1人唱歌1人跳舞的有C12·C15·C13=30種情形，2人均未被選中的情形有C25·C23=30種，兩種結果完全相同，重復計算的部分和遺漏的部分正好抵消了！

教者：這兩個數據的抵消，是其中暗藏著一種規律還是僅在本題中恰是一次巧合呢？我們把數據改一改，看看這種做法是否行得通？

學生當場把數據換換，得到了一個變題：某歌舞演出隊共有10人，其中8人能唱歌，6人會跳舞，今從10人中選2人唱歌2人跳舞，問共有多少種不同的選派方案？

大家立刻展開演算：

依照甲同學的處理方法，可以這樣列式：8+6-10=4，10人中有，4人既會唱歌也會跳舞，有4人只會唱歌，有2人只會跳舞.于是：第一類，從只會唱歌的4人中選2人唱歌再從會跳舞的6人中選2人跳舞；第二類，把只會跳舞的2人選出來跳舞再從會唱歌的8人中選2人唱歌.這樣共有C24C26+C22C28=118種不同的選派方案.

而以唱歌選手的來源為線索得到如下結果：C24C26+C14C14C25+C24C22=256，結果不同了！不用多說，顯然前例的結果相等只是一種巧合！

3.基本方法的歸納

那么，此類問題的一般性的思考方式是什么呢？應當以什么為抓手呢？經過反復討論，大家形成共識：從集合論的角度看，“全能”的對象其實就是兩個集合的公共元素.解題時可以應用文恩圖先求得對應集合的元素個數，再由分類原理按元素的性質進行分類，依照事件發生的連續過程分步，最后將各類方法數相加.分類時要做到標準明確，分步層次清楚，不重不漏.分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終，是解決此類問題必須堅持的原則.