一道高考最值題的多種解法

楊春猛

【摘要】問題是數學的心臟，一個好的問題反映了現有水平與客觀需要的矛盾，在解決這個矛盾時，從不同的角度思考會得到不同的解法.本文以一道高考題為例，介紹最值問題的常見解法和解題思路，并且將最值問題的解法一般化，旨在引導學生更好地處理最值問題.

【關鍵詞】高考；數學；最值；解法

2009年全國卷Ⅰ理科16題題目為：

若π4

本題為最值問題，可以從構造幾何圖形的角度來求解，也可以從代數的角度來思考，筆者從以下幾個不同的角度給出多種解法，并總結了最值問題常見的解題思路和方法.

角度一：化歸為基本函數問題

解 令tanx=t，∵π4

∴t>1.

∴y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2t41-t2=21t4-1t2=21t2-122-14≤2-14=-8.

把函數最值（值域）問題化歸為基本函數問題來求解是很自然的想法，本題化歸為初中就學習過的二次函數問題，方法自然、簡潔.

角度二：均值不等式

分析 y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x，分子的最高次數為分母最高次數的兩倍，顯然可以考慮利用均值不等式來處理.

解 ∵π4

∴tanx>1，∴tan2x-1>0.

∴y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=-2·tan4x-1+1tan2x-1=-2·tan2x-1tan2x+1+1tan2x-1=-2tan2x+1+1tan2x-1=-2tan2x-1+1tan2x-1+2≤-2（2+2），

當且僅當tan2x-1=1tan2x-1，即tan2x=2，即tanx=2時取等號.

評析 均值不等式為高中不等式中的重點內容，是處理最值問題最基本、最有效的方法，使用時注意等號成立的條件.

角度三：判別式法

分析 y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2t41-t2=2m21-m，可以考慮使用判別式法求解.

解 令tanx=t，∵π41.

令m=t2，m>1，

y=2m21-m（m>1），

整理為2m2+my-y=0，

問題轉化為二次方程2m2+my-y=0在（1，+∞）上有解.

令g（x）=2m2+my-y，

因為g（1）=2>0，

所以有：Δ≥0且-b2a>1，

即y2+8y≥0且-y4>1，

得y≤-8.

評析 和二次函數有關的最值問題常?？梢钥紤]判別式法，轉化為二次函數根的分布問題來求解.

角度四：數形結合

分析 y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2t41-t2，式子為分式形式，可以考慮數形結合中的斜率模式：k=y2-y1x2-x1.

解 令tanx=t，∵π4

∴t>1.令m=t2，m>1，

y=2m21-m（m>1），式子等價于k=-2m2-0m-1，（m>1）.

求過點m，2m2與點（1，0）的直線的斜率的最小值.

法一 令y=2m2， x=m，得y=2x2.

由圖像知，所求k的最小值就是函數y=2x2過點（1，0）的切線的斜率.

設切點為（x0，2x20）， y′=4x， k切=y′x=x0=4x0.

所以有2x20-0x0-1=4x0，得x0=2.

所以k切=8， 所以k=-8.

所以所求y的最大值為-8.

法二 設切線方程為y=k（x-1）.

y=2x2，

y=k（x-1）.

得：2x2=k（x-1）.

即：2x2-kx+k=0.

令Δ=0.

得：k2-8k=0，

得：k=8或k=0（舍去）.

所以所求y的最大值為-8.

評析 數形結合百般好，當最值問題中出現斜率模式、截距模式、距離模式等模式時可以考慮使用數形結合思想.

角度五：求導數得最值

分析 y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2t41-t2=2m21-m， （m>1）， 可以直接求導.

解 y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2t41-t2=2m21-m， （m>1），

所以y=2m21-m， （m>1），

y′=-2mm-21-m2.

令y′=0 得m=2或m=0.

則函數y=2m21-m在1，2上為增函數，在2，+∞上為減函數.

所以ymax=2·221-2=-8.

評析 導數是研究函數性質的最好工具，也是求最值的常用方法.

橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同，最值問題可以從不同的角度得到不同的解法，其中常見的思想方法為：基本函數法、判別式法、數形結合思想、換元法、參數法、導數法等.