2012年桂林市一道中考壓軸題的賞析

胡錦鳳 高曉兵

數學中考壓軸題是數形結合的精髓，是整張試卷的重中之重，主要考查學生的綜合、應用、探究型題的求解能力.而此類題往往是出卷教師多年的教研經驗與心血凝結而成的成果， 題型新穎，具有獨到的方式與思路，別有不一樣的精彩.以下是2012年廣西桂林數學中考的一道壓軸題，讓我們通過其“多元”的解答，品嘗其精彩.

一、試題呈現

（2012年廣西·桂林）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D為BC的中點.

（1）若E，F分別是AB，AC上的點，且AE=CF，求證：△AED≌△CFD；

（2）當點F，E分別從C，A兩點同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿CA，AB運動，到點A，B時停止.設△FED的面積為y，F點運動的時間為x，求y與x的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，點F，E分別沿CA，AB的延長線繼續運動，求此時y與x的函數關系式.

二、解法探討

本題的第（1）問較為容易，學生結合圖形利用三角形全等得解，方法也較為統一.本題難點主要在第（2）、（3）問，而第（3）問的切入點第（2）問，只要掌握了第（2）問的解法，第（3）問也就迎刃而解，本文主要介紹第（2）問的五種解法，供大家交流，歡迎指正.

解法一（割補法）

解 依題意有：FC=AE=x，AF=6-x.

∵△AED≌△CFD，

∴S四邊形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF

=S△ADC=9.

∴S△EDF=S四邊形AEDF-S△AEF=9-12（6-x）x=12x2-3x+9.

∴y=12x2-3x+9.

解法二（割補法）

解 依題意有：FC=AE=x，AF=6-x.

∵△AED≌△CFD，

又∵S△BDE+S△DEF+S△AEF+S△DFC=S△ABC，

∴S△DEF=S△ABC-S△BDE-S△DFC-S△AEF

=S△ABC-S△BDE+S△ADE-S△AEF

=S△ABC-S△ABD-S△AEF

=18-9-x6-x2.

∴y=12x2-3x+9.

點評 解法一和二均系求圖形面積常用的割補法，根據第（1）問中的三角形全等，利用全等的三角形面積相等來轉換面積得解.當然方法一與方法二相比較，法一更簡便快速.

解法三（直角三角形的特有面積法）

解 依題意有：FC=AE=x，AF=6-x.

∵△AED≌△CFD，

∴∠ADE=∠CDF，ED=DF.

∴∠EDF=90°.

可知△EDF是等腰直角三角形.

∵AE2+AF2=EF2，

ED2+DF2=EF2，

∴AE2+AF2=ED2+DF2.

∴AE2+AF2=2ED2.

即 x2+（6-x）2=2 ED2.

∴S△DEF=ED·DF2=DF22=x2+（6-x）42.

∴y=12x2-3x+9.

解法四（直角三角形的特有面積法）

解 ∵△AED≌△CFD，

∴∠ADE=∠CDF，ED=DF.

∴∠EDF=90°.

可知△EDF是等腰直角三角形.

過點F作FH垂直CD于點H.

設 FC=x，則有

FH=HC=22x，

DH=DC-HC=32-22x.

勾股定理得 DF2=DH2+HF2

=32-22x2+22x2

=x2-6x+18.

∴S△EDF=ED·DF2=DF22=x2-6x+182.

∴y=12x2-3x+9.

點評 上述的方法三和四主要是利用三角形的面積公式來計算解答，而且是直角三角形特有面積公式.方法三是通過等式的轉換得出兩直角邊的積，而方法四是更是迎難而上，巧填輔助線，利用勾股定理求出三角形DEF的直角邊，再求面積.這兩種方法，各有妙處，均不失為一種妙想.

解法五（取特殊值法）

解 依題意可知：在E，F運動的過程中，F點必經過三個特殊的點，開始在C點，再到AC的中點，終點是A，所構成的等腰直角三角形EDF的面積也存在三個特殊值.

設FC=x ，S△DEF=y.

當x=0時，y=9.

當x=3時，y=92.

當x=6時，y=9.

設函數為y=ax-32+92 過點（0，9），

解得a=12.

∴y=12x2-3x+9.

點評 此法實屬最險的一種，在初中數學的學習中，取特殊值法是選擇題的常用多種方法中其中的一種，但是在壓軸題中甚為少見.由于此題是有關于二次函數的問題，利用圖形運動過程中產生的特殊的點得到x與y特殊的對值，再根據待定系數法求解函數解析式，思路新穎，解法簡單，效果甚佳，充分體現了數學中的“特殊與一般”的辯證唯物主義思想.

三、試題及解法賞析

（1）本題看似平實，但構思巧妙，是在三角形全等、直角三角形的應用、函數、幾何圖形等知識的交匯處設計的，考查了數形結合、運動、建模等重要的數學思想和求圖形面積的基本方法，同時考查學生捕捉圖形信息的能力及綜合運用所學知識解決問題的能力.本題難度適中，具有層次感.

（2）解法多樣，既考查基本方法，也考查思維能力.解法一、二運用面積的割或補的方法來求出三角形DEF的面積，進而得到二次函數的關系式.解法三、四則是通過勾股定理，由已知邊的量轉換成未知邊的量求出直角三角形的面積，得到函數關系式.解法五是利用點F運動的路程中必經過的特殊值來求出特殊點（x，y），然后利用待定系數法求出△DEF的面積進而得到x與y的函數關系.解法三、四是解決直角三角形的基本方法，但是運算量較大，需要學生有清晰的思路和扎實的基本功.解法五則是以時間t為切入點，運算量相對較小.將題目所給的運動與圖形有機結合，考查了學生的解題靈活性，簡潔、流暢. 同時解法一利用圖形的代換直接求出面積，顯得很自然，與其他解法比較，更勝一籌.

四、解后反思

其一，解題的關鍵是會分析題目讀取圖形信息，且結合起來找到數學的規律解決問題，挖掘思路，尋求求解的方法.

其二，本題的第一問是三角形全等的問題，第二問和第三問是有關于運動求面積的問題，起點低，但問題設計有鮮明的層次感， 它以三角形為背景，線段之間的數量關系為載體，將直角三角形的知識與方程函數思想、建模思想等巧妙結合在一起，讓不同層次的學生都能得到一定的思考和發揮.試題看似平凡，可竟有多種解答，既能啟迪思維，又能很好地考查學生的數學基本功，考查數形結合的思想.充分體現了數學的精彩和魅力.