遞推數(shù)列通項公式的解題技巧與方法

梁桂友

從近年高考來看，可以知道數(shù)列的考查占高中數(shù)學(xué)的分量比較大，也是區(qū)別尖子生的重要分界線.非常規(guī)數(shù)列，也就是指非等比、等差數(shù)列，在求通項公式方面，題型比較多，方法與技巧也比較多，很多考生往往因為這一點，而產(chǎn)生畏懼和退縮的心理.可是，只要我們仔細分析，即使它的題型變化大，解題方法思路也多元化，但都有章可循.在此，就以求遞推數(shù)列通項公式作為例子，對一些方法與技巧進行剖析.只想能通過這些解題的方法與技巧的分析，達到觸類旁通的作用，讓學(xué)生從中學(xué)會分析題型，把握題型的解題思路和技巧，尋求最佳的解答思路，形成較強的解題能力、獨特的解題思路，提高高考總復(fù)習(xí)的效率.

一、累加法求通項公式

固定模式： an+1-an=f（n）（n=2，3，4，…），并且f（1）+ f（2）+…+f（n-1）可以求出，那么就可以用累加法求an，假如不能直接使用該方法，那么就通過變形，轉(zhuǎn)化成這種形式，再用這種方法進一步求解.

例1 已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2n+1，a1=1，求數(shù)列{an}的通項公式.

解題技巧與方法 由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1，于是：

a1=1

a2-a1=3

a3-a2=5

……

an-1-an-2=2n-3

an-an-1=2n-1

以上n個式子相加即得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1，即可得到通項公式.

最關(guān)鍵技巧 把遞推關(guān)系式an+1=an+2n+1轉(zhuǎn)化為an+1-an=2n+1，進而求出（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1，即得數(shù)列的通項公式.

二、累乘法求通項公式

固定模式： anan-1=f（n）（n=2，3，4，…），并且f（1）+ f（2）+…+f（n-1）可以求出，則用累乘法求an，假如不能直接使用該方法，那么就通過變形，轉(zhuǎn)化成這種形式，再用這種方法進一步求解.

例2 （2012全國卷文數(shù)18題）已知數(shù)列{an}中，a1=3，前n項和Sn=n+23an.（1）求a2，a3；（2）求{an}的通項公式.

解題思路 （1）比較容易.（2）關(guān)鍵由an=Sn-Sn-1整理出an=n+1n-1an-1，于是a1=3，a2=31a1，a3=42a2，…，an-1=nn-2an-2，an=n+1n-1an-1.將以上n個等式兩端分別相乘，整理就可得an=n（n+1）2.

三、待定系數(shù)法求通項公式

例3 已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3·5n，a1=6，求數(shù)列{an}的通項公式.

最關(guān)鍵技巧 本題目的關(guān)鍵技巧是把遞推關(guān)系式an+1=2an+3·5n化為an+1-5n+1=2（an-5n）形式，因此，容易得知新數(shù)列{an-5n}是等比數(shù)列！剩下的只要求出數(shù)列{an-5n}的通項公式，就可以解出數(shù)列{an}的通項公式an=2n-1+5n.

四、用迭代法求通項公式

例4 已知數(shù)列{an}滿足an+1=a3（n+1）2nn，a1=5，求數(shù)列{an}的通項公式.

最關(guān)鍵技巧 由an+1=a3（n+1）2nn，由迭代法，可以得到

an=a3n·2n-1n-1=[a3（n-1）·2n-2n-2]3n·2n-1=…=a3n-1·2·3·…·（n-2）·（n-1）·n·21+2+…+（n-3）+（n-2）+（n-1）1=a3n-1·n！·2n（n-1）21.

又根據(jù)已知a1=5即可以求出數(shù)列{an}的通項公式為an=53n-1·n！·2n（n-1）2.

五、構(gòu)造等比數(shù)列法求通項公式

例5 已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3·2n，a1=2，求數(shù)列{an}的通項公式.

最關(guān)鍵技巧 an+1=2an+3·2n兩邊除以2n+1，得an+12n+1=an2n+32，則an+12n+1-an2n=32，因此數(shù)列an2n是以a121=22=1為首項，以32為公差的等差數(shù)列.

最關(guān)鍵策略 由遞推關(guān)系式an+1=2an+3·2n轉(zhuǎn)化為an+12n+1-an2n=32，可推出數(shù)列an2n是等差數(shù)列，能否把握這個轉(zhuǎn)化過程，是解決這類題目的關(guān)鍵所在！最后，再利用等差數(shù)列的通項公式求出an2n=1+（n-1）32，求出數(shù)列{an}的通項公式an=32n-122n即可.

誠然，在高中數(shù)學(xué)求解數(shù)列的通項公式題型是比較多樣化的，因此，求解遞推數(shù)列的通項公式的方法也很變幻莫測，正因如此，求遞推數(shù)列的通項公式這類題型成為了歷年高考命題中熱點考查對象.但是，只要我們善于發(fā)現(xiàn)問題，仔細分析，都可以通過具體的解題技巧將問題轉(zhuǎn)化為較為固定的解題模式，逐步形成一種獨特的解題技能，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決.