高考數(shù)列解題策略研究

辜琛坤

【摘要】數(shù)列是高中數(shù)學的重要內容之一，是銜接初等數(shù)學與高等數(shù)學的橋梁，在高考中的地位舉足輕重，新課標高考把數(shù)列作為核心內容來加以考查且考查試題不斷創(chuàng)新.所以，了解高考中數(shù)列問題的命題規(guī)律，掌握高考中關于數(shù)列問題的熱點題型的解法，針對性地開展數(shù)列知識的復習和訓練，對于在高考中取得理想的成績具有十分重要的意義.

【關鍵詞】考試說明；基本題型；拓展綜合

考試說明：重視基本方法和基本技能考查，熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式及其應用，掌握常見求通項、數(shù)列求和的技巧，重視數(shù)列與其他知識的交匯考查，突出對數(shù)學方法和數(shù)學能力的考查.

基本題型：

一、等差、等比數(shù)列基本運算

等差、等比數(shù)列是一個重要的數(shù)列類型，高考命題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、基本量的運算及由概念推導出的一些重要性質，靈活運用這些性質解題，可達到避繁就簡的目的.解決等差、等比數(shù)列的問題時，通常考慮兩類方法：①基本量法，即運用條件轉化成關于a1和d的方程（組）；②巧妙運用等差、等比數(shù)列的性質.

例1 （2013年高考四川卷（文））在等比數(shù)列{an}中，a2-a1=2，且2a2為3a1和a3的等差中項，求數(shù)列{an}的首項、公比及前n項和.

解 設{an}的公比為q.由已知可得

a1q-a1=2，4a1q=3a1+a1q2，

所以a1（q-1）=2，q2-4q+3=0，解得 q=3或q=1.

由于a1（q-1）=2，因此q=1不合題意，應舍去.

故公比q=3，首項a1=1.所以，數(shù)列的前n項和Sn=3n-12.

訓練1 （2013年高考新課標1（理））設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，則m= （ ）.

A.3 B.4 C.5 D.6

答案 C

訓練2 （2013年高考江西（理））等比數(shù)列x，3x+3，6x+6，…的第四項等于（ ）.

A.-24B.0C.12D.24

答案 A

點評 這幾道題的解法直接利用了等差、等比的定義、通項或者求和公式即可完成解答，體現(xiàn)雙基考查.

例2 （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學（理））設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1.

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；

（Ⅱ）設數(shù)列{bn}前n項和為Tn，且Tn+an+12n=λ（λ為常數(shù)）.令cn=b2n（n∈N*）.求數(shù)列{cn}的前n項和Rn.

解 （Ⅰ）設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.

由S4=4S2，a2n=2an+1得

4a1+6d=8a1+4d，

a1+（2n-1）=2a1+2（n-1）d+1，

解得a1=1，d=2.

因此an=2n-1（n∈N*）.

（Ⅱ）由題意知：Tn=λ-n2n-1.

所以n≥2時，bn=Tn-Tn-1=-n2n-1+n-12n-2.

故cn=b2n=2n-222n-1=（n-1）14n-1，（n∈N*）.

所以Rn=0×140+1×141+2×142+3×143+…+（n-1）×14n-1，

則14Rn=0×141+1×142+2×143+…+（n-2）×14n-1+（n-1）×14n，

兩式相減得34Rn=141+142+143+…+14n-1-（n-1）×14n=14-14n1-14-（n-1）14n，

整理得Rn=194-3n+14n-1.

所以數(shù)列{cn}的前n項和Rn=194-3n+14n-1.

點評 此題主要考查等差求和公式和利用方程組解基本量，隨后考查重要求和方法——錯位相減法.

訓練3 （2013年高考大綱卷（文））等差數(shù)列{an}中，a7=4，a19=2a9.

（Ⅰ）求{an}的通項公式；

（Ⅱ）設bn=1nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

答案 {an}的通項公式為an=n+12，Sn=21-22+22-23+…+2n-2n+1=2nn+1.

訓練4 （2013年高考湖南（文））設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1≠0，2an-a1=S1·Sn，n∈N*.

（Ⅰ）求a1，a2，并求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{nan}的前n項和.

答案 （Ⅰ）{an}是首項為a1=1，公比為q=2的等比數(shù)列，an=2n-1，n∈N*.

（Ⅱ）Tn=（n-1）·2n+1，n∈N*.

訓練5 （2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷）設數(shù)列{an}：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，（-1）k-1k，…，（-1）k-1kk個，即當（k-1）k2

（1）求集合P11中元素的個數(shù)；（2）求集合P2000中元素的個數(shù).

本題主要考查集合、數(shù)列的概念與運算、計數(shù)原理等基礎知識，考查探究能力及運用數(shù)學歸納法分析解決問題的能力及推理論證能力.

答案 （1）集合P11中元素的個數(shù)為5 .（2）集合P2000中元素的個數(shù)為312+47=1008.

數(shù)列部分的考查形式在高考中有多種，選擇題、填空題以及答題都可能會涉及，在各省市對數(shù)列的考查難易程度也是相差較大，許多省市更是放在前三道大題，所以建議復習數(shù)列部分時首先重視等差、等比數(shù)列基礎題型和常見的求和、求通項方法，在這些基礎熟練之后，對基礎較好的考生再對數(shù)列的綜合應用加以研究.