線性代數(shù)在理工科專業(yè)課中的應(yīng)用

李艷曉 邵玉麗

【摘要】線性代數(shù)是理工科專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一，但學(xué)生對(duì)線性代數(shù)在專業(yè)課中的應(yīng)用卻知之甚少.以機(jī)械設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、自動(dòng)控制等課程為例，分析線性代數(shù)知識(shí)在專業(yè)課學(xué)習(xí)中的具體應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣以及應(yīng)用知識(shí)的能力.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)；機(jī)械設(shè)計(jì)；結(jié)構(gòu)力學(xué)；自動(dòng)控制

線性代數(shù)作為理工科院校普遍開設(shè)的公共基礎(chǔ)課程之一，這門課程不僅是繼續(xù)學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，更是學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)專業(yè)課程的重要語(yǔ)言和工具.特別是由于計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)工程問題線性化建模與離散數(shù)據(jù)處理方面的廣泛應(yīng)用，使得本課程的作用顯得更為重要，通過對(duì)它的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、數(shù)值計(jì)算能力和空間想象能力等.

目前，理工科院校使用的線性代數(shù)教材中，普遍以理論知識(shí)為主，從理論到理論，很少能有與實(shí)際生活或?qū)I(yè)知識(shí)相聯(lián)系的例子.對(duì)初接觸線性代數(shù)的學(xué)生而言，很難從單調(diào)晦澀的專業(yè)術(shù)語(yǔ)中看到線性代數(shù)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，更體會(huì)不到數(shù)學(xué)中的美.而事實(shí)上線性代數(shù)這門課程的發(fā)展，概念和定理的產(chǎn)生，并非是抽象、枯燥的，而是伴隨著一系列問題的產(chǎn)生和解決才形成的.本文主要以機(jī)械設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、自動(dòng)控制等課程為例，分析線性代數(shù)知識(shí)在專業(yè)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，說明線性代數(shù)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)意義.

一、線性代數(shù)在機(jī)械設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

在現(xiàn)代生產(chǎn)和日常生活中，機(jī)器已成為代替和減輕人類勞動(dòng)、提高勞動(dòng)生產(chǎn)率的主要手段.機(jī)器的主體部分是有許多運(yùn)動(dòng)構(gòu)件組成的.一般被用來(lái)傳遞運(yùn)動(dòng)和力，有一個(gè)構(gòu)件為機(jī)架，用構(gòu)件間能夠相對(duì)運(yùn)動(dòng)的連接方式組成的構(gòu)件系統(tǒng)稱為機(jī)構(gòu)，而凸輪機(jī)構(gòu)是機(jī)器中最常用的機(jī)構(gòu)之一.凸輪機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的主要任務(wù)是凸輪輪廓曲線的設(shè)計(jì).輪廓曲線的設(shè)計(jì)方法有幾何法和解析法.用解析法求凸輪輪廓曲線上直角坐標(biāo)的過程中要用到如下變換：

xB

yB=R-φxB1

yB1

其中[R-φ]=cosφsinφ

-sinφcosφ為平面旋轉(zhuǎn)矩陣，這步變換將點(diǎn)B1（xB1，yB1）反轉(zhuǎn)一個(gè)角度（-φ）得到點(diǎn)B（xB，yB），這說明矩陣乘法有特殊的意義，可以根據(jù)實(shí)際探求特殊矩陣.

二、線性代數(shù)在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用

《結(jié)構(gòu)力學(xué)》是普通高等院校土木工程專業(yè)土建、路橋、水利類的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，結(jié)構(gòu)力學(xué)課程在整個(gè)課程體系中處于承上啟下的核心地位.結(jié)構(gòu)矩陣分析方法以傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)里學(xué)最為基礎(chǔ)理論、以矩陣作為數(shù)學(xué)表述形式、以電子計(jì)算機(jī)作為計(jì)算手段，三位一體的方法.結(jié)構(gòu)矩陣分析方法著眼于“電算”，而矩陣數(shù)學(xué)表達(dá)力強(qiáng)，運(yùn)算簡(jiǎn)潔方便并且適于計(jì)算機(jī)組織運(yùn)算，是用計(jì)算機(jī)進(jìn)行結(jié)構(gòu)數(shù)值分析的最強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具.下面介紹線性代數(shù)知識(shí)在用矩陣位移法計(jì)算平面鋼架中的應(yīng)用.

在結(jié)構(gòu)力學(xué)的計(jì)算中，通過采用對(duì)結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，進(jìn)而通過矩陣的形式堆各基本參數(shù)進(jìn)行組織、編排，求出未知量的方法，稱為矩陣位移法.用矩陣位移法計(jì)算平面鋼架的步驟中：形成局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噆-e、形成整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噆e、用單元集成形成整體剛度矩陣K、用單元集成法形成整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載P等用到矩陣及矩陣的運(yùn)算知識(shí)；根據(jù)方程組KΔ=P，求出結(jié)點(diǎn)位移Δ的過程中用到了矩陣的運(yùn)算和非齊次線性方程組的求解.

三、線性代數(shù)在自動(dòng)控制中的應(yīng)用

《自動(dòng)控制原理》課程是電氣工程及其自動(dòng)化專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課.在現(xiàn)代控制理論的發(fā)展中，線性系統(tǒng)理論已成為較為完整成熟的理論.線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間法的主要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是線性代數(shù)，用到矩陣、矩陣運(yùn)算、矩陣秩、向量、二次型、方陣特征值和特征向量等.在狀態(tài)空間法中，廣泛應(yīng)用向量來(lái)表示系統(tǒng)的各種變量組，其中包括狀態(tài)向量、輸入向量和輸出向量.變量的個(gè)數(shù)規(guī)定為相應(yīng)向量的維數(shù).用x表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量，用u和y分別表示系統(tǒng)的輸入向量和輸出向量，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為如下的一般形式：

x·（t）=f[x（t），u（t），t]，

式中，f[x，u，t]為自變量x、u的線性函數(shù)，t為時(shí)間變量.對(duì)于線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式為：

x·（t）=A（t）x（t）+B（t）u（t），y（t）=C（t）x（t）+D（t）u（t）

通常A（t）、B（t）、C（t）、D（t）分別為系統(tǒng)、輸入、輸出、輸入輸出矩陣.若A（t）、B（t）、C（t）、D（t）中的各元素為常數(shù)，該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，否則為線性時(shí)變系統(tǒng).線性定常連續(xù)系統(tǒng)的完全可控性（完全可測(cè)性）判定用的是矩陣秩或PBH特征向量判據(jù)；李雅普諾夫提出的線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判定的直接法（第二法）用到的李雅普諾夫函數(shù)是二次型函數(shù).

四、結(jié)束語(yǔ)

線性代數(shù)為理工科院校的基礎(chǔ)課程之一，它在理工科專業(yè)中的重要性毋庸置疑，但學(xué)生對(duì)于線性代數(shù)的學(xué)習(xí)還是停留在純粹數(shù)學(xué)的認(rèn)知上，因此，在線性代數(shù)的教學(xué)中，盡量和專業(yè)課結(jié)合，以解決專業(yè)知識(shí)的角度引入線性代數(shù)知識(shí)，使線性代數(shù)更通俗易懂，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和興趣.

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