圓內共點弦定理

黃正洪

圓內兩弦相交，有相交弦定理，該兩弦在圓周上確定的四邊形與其對角線的關系，有托勒密定理.那么圓內多弦相交于一點會有什么情形產生呢？對此一問的結論是：當相交于一點的弦數為多于2的偶數時，由最基本的兩弦相交的相交弦定理和托勒密定理的拓展，我們可以尋覓到一些有趣的現象，但這其間更多真正的奧秘還有待于探索和挖掘.而當相交于一點的弦數為多于1的奇數時，我們發現這里邊有一個數學的汪洋大海，面對海岸邊迷人的風光，叫人不舍離去，也許是造化不負有心尋覓之人，作為回報一看似極為平常實際卻很珍貴的小顆粒發出了奪目的閃光，這寶貝肯定是先賢不小心失落，對這一拾得物我們可作如下描述：“過圓內一點M的（2n-1）（n=2，3，4…）條弦在圓周上所確定的多邊形的兩組不相鄰的邊的乘積相等.”以上敘述就是我們自詡的“圓內共點弦定理”.下面為該定理作出證明：

如圖（一），假設（2n-1）條圖（一）弦在圓O內相交于M點，我們定義這些弦的兩個端點在圓周上所確定的2（2n-1）邊形為A1A2A3…A2（2n-1）.

于是知這些共點弦分別為：A1A2n，A2A（2n+1），…，A2（2n-1）A（2n-1）.設MA1=a1，MA3=a2，…，MA（2i-1）=ai（i=1，2，3…）.

于是由兩弦所夾的兩對頂三角形分別相似的情形，在圓的360°范圍內由相交弦定理，我們可得如下所有（2n-1）組等式：

A1A2/A2nA（2n+1）=a1/a（n+1）.（1）

……

A（2n-3）A（2n-2）/A（4n-4）A（4n-3）=a（n-1）/a（2n-1）.（2）

A（2n-1）A2n/A（4n-2）A1=an/a1.（3）

……

A（4n-3）A（4n-2）/A（2n-2）A（2n-1）=a（2n-1）/an.（4）

將以上（2n-1）組等式的兩邊分別連乘，于是就得到：

A1A2×…×A（2n-3）A（2n-2）×A（2n-1）A2n×…×A（4n-3）A（4n-2）/A2nA（2n+1）×…×A（4n-4）A（4n-3）×A（4n-2）A1×…×A（2n-2）A（2n-1）=a1×…×a（n-1）×an×…×a（2n-1）/a（n+1）×…×a（2n-1）×a1×…×an=1.（5）

由（5）式，于是我們就有：

A1A2×…×A（2n-3）A（2n-2）×A（2n-1）A2n×…×A（4n-3）A（4n-2）=A2nA（2n+1）×…×A（4n-4）A（4n-3）×A（4n-2）A1×…×A（2n-2）A（2n-1）.（6）

等式（6）就是“圓內共點弦定理”的表達式，它在平面幾何的證題中有一定的現實意義.這里讓我們來作一應用舉例：

如圖（二），已知 M，N是圓周上的任意可移動的兩個點，P是直徑AB上的動點，求證：tan∠AMP×tan∠BNP為定值.

圖（二）證明 設圖中NP的延長線交圓O于D，MP的延長線交圓O于C，且設圖中∠AMP=α，∠BNP=β.于是根據同弧上的圓周角相等我們可推知∠ABC=α，∠BAD=β.因AB為直徑，進一步由直角三角形邊長與三角函數的關系我們可得：

tan∠AMP=tan∠α=AC/BC.（7）

tan∠BNP=tan∠β=BD/AD.（8）

將（7）乘上（8）于是我們可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=AC×BD/AD×BC.（9）

在圓內接四邊形ABCD中，由托勒密定理我們可得：

AC×BD=AD×BC+AB×CD.（10）

將（10）代入（9）我們有：

tan∠AMP×tan∠BNP=（AD×BC+AB×CD）/AD×BC.（11）

將（11）化簡可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=1+AB×CD/AD×BC.（12）

至此我們應用“圓內共點弦定理”，且只取當（n=2）時的情形（即將共點弦數定為三條），于是我們可得如下等式：

AD×BC×MN=AM×BN×CD.（13）

將（13）改寫我們可得：

AD×BC=（AM×BN×CD）/MN.（14）

將（14）代入（12）就有：

tan∠AMP×tan∠BNP=1+AB×CD×/（AM×BN×CD/MN）.（15）

將（15）化簡可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=1+AB×MN/AM×BN.（16）

在圓內接四邊形ABNM中，又由托勒密定理的改寫式我們可得：

AB×MN=AN×BM-AM×BN.（17）

將（17）代入（16）就有：

tan∠AMP×tan∠BNP=1+（AN×BM-AM×BN）/AM×BN.（18）

將（18）化簡可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=1+AN×BM/AM×BN-1.（19）

將（19）整理可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=AN×BM/AM×BN.（20）

由（20）知tan∠AMP×tan∠BNP為一定值.證明完畢.

通過對“圓內共點弦定理”的應用舉例，我們發覺該定理的確有其存在的價值，今后我們如要破解同類或相關的試題，一定會因有此定理的存在而使思路更為清晰，其表述過程也會因此而得到簡化，故我們感覺有必要將此“小顆粒”以定理的形式記錄下來，并希有更多的人能從更多的信息渠道獲知此定理的存在和了解到其存在的意義.

注：如圖（一）中的A（4n-2）點即A2（2n-1）點，在圖中改寫和使用A（4n-2）是為了簡便表達A（4n-3）這類點特意而安排的，其他諸如此類情形的點的表達，我們不再一一加注，特此說明.