直角三特殊線段的關系與應用

王方東

眾所周知，等腰三角形頂角的三特殊線段（頂角的平分線，底邊上的高和中線）合一，至于直角三角形直角三特殊線段如何呢？課本中沒有這方面的內容，因此，在教學之余的研究中，獲得直角三角形直角三特殊線段之間的關系歸納整理于后，以資同仁參考.

引論1：在直角三角形中，直角三角形斜邊上的高等于兩直角邊的積與斜邊之長的比.

圖 1如圖1，易證CD =abc

引論2：在直角三角形中，直角平分線的長等于兩直角邊a，b之積的2倍除以它們之和的商.

已知：如圖2，在△ABC中，

∠ABC = 90°，AC=b ，圖 2BC =a ，

AB =c ，CE是∠ABC的平分線.

求證：CE =2aba+b.

證明 設CE=y，AE=x，

那么BE=c-x，

由勾股定理得：c=a2+b2.

∵CE是角平分線，

∴AEBE=ACBC，即xc-x=ba，∴x=bca+b，c-x=aca+b.

在 △ACE中，由余弦定理，得：x2=b2+y2-2bycos45°

∴2by=b2+y2-bca+b2.①

同理，得：2ay=a2+y2-aca+b2.②

由②-①得：2（a-b）y=（a2- b2）-aca+b2-bca+b2= （a+b）（a-b）-a-ba+bc2.

∴y=a+b2-c22（a+b）=a2+2ab+b2-c22（a+b）=2aba+b.

即：CE=2aba+b.

由引論得到：

結論1（角平分線——高） 在直角三角形中，直角平分線的長除以斜邊上的高等于斜邊的2倍除以兩直角邊的和.

圖 3已知：如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，AB=c，CE是∠ACB的角平分線，CD是斜邊上的高.求證：CECD=2ca+b.

證明 由引論，得：

CD=abc，CE=2aba+b，∴CECD=2ca+b.

結論2（中線——高） 在直角三角形中，斜邊上的中線與斜邊上的高的積等于兩直角邊的積的二分之一.

圖 4已知：如圖4，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，AB=c，CD，CE分別是斜邊上的高和中線. 求證：CE·CD=12ab.

證明 由引論1得：CD=abc.

又 ∵∠ACB=90°，CE是AB邊上的中線，

∴CE=12c.∴CE·CD=12ab.

由引論1和引論2得到：

結論3（中線——角平分線） 在直角三角形中，斜邊上的中線與直角平分線之積等于直角三角形三邊之積除以兩直角邊之和的商的22倍.

圖 5（如圖5，CF·CE=abca+b·22）

結論4（中線——高——角平分線） 在直角三角形中，直角平分線平分斜邊上的高與中線的夾角.

已知：如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，CE是角平分線，CD，CF分別是斜邊AB上的高和中線.求證：CE平分∠DCF.

證明 在Rt△ABC中，CD⊥AB，∴∠ACD=∠B.

又 ∵CF=BF，∴∠BCF=∠B，∠ACD=∠BCF.

∵CE是∠ACB的平分線，

∴∠ACE=∠BCE.

∴∠DCE=∠FCE，即CE平分∠DCF.

圖 6例1 如圖6，在△ABC中，∠ACB是直角，AC∶BC= 3∶5，∠ACB的平分線CE=17 cm，求AB邊上的高CD.

解 ∵AC∶BC=3∶5，不妨設AC=3k，BC=5k，

∴AB=（3k）2+（5k）2=34k.

由結論1可得：CECD=2ca+b=2·34k3k+5k.

∴CD=417 cm.

圖 7例2 在直角△ABC中，∠C=Rt∠，作∠C的平分線與AB交于E，與AB的垂直平分線交于M.求證：FC = FM.

證明 過C 作CD ⊥ AB，

又 ∵FM ⊥ AB，∴ CD ∥FM.

∴ ∠DCM=∠M.

由結論4 知：∠DCM=∠MCF，

∴∠MCF=∠M.∴CF=MF.