對偶空間的一些新性質

徐莉 黃體仁

【摘要】本文主要研究了對偶空間的一些新性質，以及用它們來簡化對偶空間的運算.

【關鍵詞】對偶空間；對偶基

1.引 言

求線性空間的基所對應的對偶基，有時很麻煩，特別是子空間所對應的對偶空間以及子空間之間的運算.例如，求V*1∩V*2的基，首先要求V1，V2的基，然后求出V*1，V*2，最后取交集，這樣比較繁瑣，但求（V1∩V2）*的基，則相對要方便一些.下面我們看對偶空間的一些新性質，以及用它們來簡化對偶空間的運算.

2.對偶空間的一些新性質

對偶空間的一些新性質：

（1） 設V是F上一個n維線性空間，若V1V，則V*1V*.

（2） 若V1∩V2=，則V*1∩V*2=.

（3） 若V1V，V2V，則（V1∩V2）*=V*1∩V*2.

（4） 若V1V，V2V，則（V1+V2）*=V*1+V*2.

證明 （1） 設V1的基為α1，α2，…，αk，將其擴充為V的一組基，設為α1，α2，…，αk，αk+1，αk+2，…，αn.所對應的對偶基為f1，f2，…，fk，fk+1，fk+2，…，fn.易知f1，f2，…，fk是α1，α2，…，αk的對偶基.又因為{f1，f2，…，fk}{f1，f2，…，fn}，即V*1V*.

（2） 如果V1或V2有一個是空集，則結論顯然成立.如果V1，V2都非空， 設dimV1=n1， dimV2=n2，則取V1的基α1，α2，…，αn1，取V2的基β1，β2，…，βn2因為V1∩V2=，則V1∪V2的基為α1，α2，…，αn1，β1，β2，…，βn2，將其也擴充為V的基的一組基

α1，α2，…，αn1，β1，β2，…，βn2，γ1，γ2，…，γn-n1-n2.

由定理知，存在唯一的對偶基

f1，f2，…，fn1，g1，g2，…，gn2，h1，h2，…，hn-n1-n2.

由對偶基的定義知，f1，f2，…，fn1是V*1的基，g1，g2，…，gn2是V*2的基，顯然可以看出

V*1∩V*2=.

（3） 設dimV1=n1，dimV2=n2，dim（V1∩V2）=m.因為V1∩V2V1，V1∩V2V2，由（1）知（V1∩V2）*V*1，（V1∩V2）*V*2.所以（V1∩V2）*V*1∩V*2.

設V1∩V2的基為α1，α2，…，αm，于是將其擴充V1的基α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn1-m，將其也擴充為V2的基α1，α2，…，αm，γ1，γ2，…，γn2-m，也將其擴充為V的基α1，α2，…，αm，δ1，δ2，…，δn-m.

由定理知，存在唯一的一組對偶基f1，f2，…，fm，fm+1，…，fn.

不妨設V1的對偶基為f1，f2，…，fm，f`m+1，…，f`n1，V2的對偶基為f1，f2，…，fm，gm+1，…，gn2.

因為（V1-V1∩V2）∩（V2-V1∩V2）=，即

{β1，β2，…，βn1-m}∩{γ1，γ2，…，γn2-m}=.

由（2）知{f`m+1，…，f`n1}∩{gm+1，…，gn2}=.于是

（V*1∩V*2）={f1，f2，…，fm}.

所以dim（V*1∩V*2）=m，

又 dim（V1∩V2）*=dim（V1∩V2）=m.于是

dim（V*1∩V*2）=dim（V1∩V2）*=m.

所以（V1∩V2）*=V*1∩V*2.

（4）因為（V1+V2）V1.（V1+V2）V2，由1）知，則有（V1+V2）*V*1，（V1+V2）*V*2，于是有（V1+V2）*V*1+V*2.下面來證明dim（V1+V2）*=dim（V*1+V*2）.

設dim（V1∩V2）=m，dimV1=n1，dimV2=n2.

因為dim（V1+V2）+dim（V1∩V2）=dimV1+dimV2，

于是dim（V1+V2）=dimV1+dimV2-dim（V1∩V2）=n1+n2-m.

所以dim（V1+V2）*=dim（V1+V2）=n1+n2-m.

又由（3）證明知

dim（V*1∩V*2）=dim（V1∩V2）*=m，

又由維數公式知

dim（V*1+V*2）+dim（V*1∩V*2）=dimV*1+dimV*2.

結合上面兩個式子得

dim（V*1+V*2）=dimV*1+dimV*2-dim（V*1∩V*2）

=dimV*1+dimV*2-dim（V1∩V2）*

=n1+n2-m.

于是dim（V*1+V*2）=dim（V1+V2）*.

所以（V*1+V*2）=（V1+V2）*.

由上面的幾條新性質，我們可以得出下面兩個推論.

（1） 如果Vi∈V （i=1，2，…，n），

則有（∩ni=1Vi）*=∩ni=1V*i；

（2） 如果Vi∈V （i=1，2，…，n），

則有（∑ni=1Vi）*=∑ni=1V*i.

證明 （1） 用數學歸納法來證明.當n=2時，由上面的性質知道，結論成立.

假設n=k時成立.當n=k+1時， 令∩ki=1Vi=V′，

則有（∩k+1i=1Vi）*=（∩ki=1Vi∩Vk+1）*=（V′∩Vk+1）*.

由假設（∩ni=1Vi）*=∩ni=1V*i和（V1∩V2）*=V*1∩V*2知道：

（∩k+1i=1Vi）*=（∩ki=1Vi∩Vk+1）*=（V′∩Vk+1）*=（V′）*∩V*k+1=∩ki=1V*i∩V*k+1=∩k+1i=1V*i.

（2） 也用數學歸納法來證明.當n=2時，由上面性質知道，結論顯然是成立的.

假設n=k結論成立，當n=k+1時，令（∑ki=1Vi）*=V′′，則有（∑k+1i=1Vi）*=（V″+Vk+1）*.

由假設（∑ki=1Vi）*=∑ki=1V*i和（V1+V2）*=（V*1+V*2）知道：

（∑k+1i=1Vi）*=（∑ki=1Vi+Vk+1）*=（V″+Vk+1）*=（V″）*+V*k+1=∑ki=1V*i+V*k+1=∑k+1i=1V*i.

【參考文獻】

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[4]周光實.（op）型空間的對偶空間[J].河北大學學報（自然科學版），1984（2）.

[5]吳博兒.非絕對型Cesaro序列空間的對偶空間[J].華南師范大學學報（自然科學版），1985（2）.