換個角度視野闊

考試時要求同學們在有限的時間內解決一定數量的數學問題，這不僅要有方法，更需要技巧. 換一個角度，給我們不同的視野；換一種方式，給我們不同的思維；換一種方法，給我們不同的途徑. 以2013年的中考中有關“數與式”部分試題略作分析，在不同的思路中讓我們一起比較路途的長短，比較視野的寬窄.

一、 整體思想解決路徑長，等積變形來幫忙

例1 （2013·山東煙臺）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點E在BC上，四邊形EFGB也是正方形，以B為圓心，BA長為半徑畫，連接AF、CF，則圖中陰影部分面積為______.

【分析】設正方形EFGB的邊長為a，表示出CE、AG，然后根據陰影部分的面積=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF-S△AGF，列式計算即可得解.

解法一：設正方形EFGB的邊長為a，則CE=4-a，AG=4+a，

陰影部分的面積

=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF-S△AGF

=+a2+a（4-a）-a（4+a）

=4π+a2+2a-a2-2a-a2

=4π.

【點評】本題涉及正方形的性質、整式的混合運算、扇形的面積計算，引入小正方形的邊長這一中間量是解題的關鍵.

解法二：連接AC、BF，易證AC∥BF；則S△ACF=S△ABC（同底等高）；所以陰影部分面積為扇形ABC的面積，故答案為：4π.

二、代數式的計算有點煩，各項定位來解難

例2 （2013·臺灣）若一多項式除以2x2-3，得到的商式為7x-4，余式為-5x+2，則此多項式是什么？（ ）.

A. 14x3-8x2-26x+14

B. 14x3-8x2-26x-10

C. -10x3+4x2-8x-10

D. -10x3+4x2+22x-10

【分析】根據題意列出關系式，計算即可得到結果.

解法一：根據題意得：

（2x2-3）（7x-4）+（-5x+2）

=14x3-8x2-21x+12-5x+2

=14x3-8x2-26x+14

故選A.

【點評】此題考查了整式的除法，涉及的知識有多項式乘多項式法則、去括號法則以及合并同類項法則，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

解法二：這題是一道選擇題，計算的結果是一個三次多項式，最高次項的系數為14，所以只有A、B兩個選項可能正確，常數項為12加2，所以選擇A.

三、 代數推理有點難，數學直觀很好玩

例3 （2013·浙江寧波）7張如圖2的長為a，寬為b（a>b）的小長方形紙片，按圖3的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示. 設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a，b滿足（ ）.

A. a=b B. a=3b C. a=b D. a=b

【分析】表示出左上角與右下角部分的面積，求出S，根據S與BC無關即可求出a與b的關系式.

解法一：左上角陰影部分的長為AE，寬AF=3b，右下角陰影部分的長為PC，寬CG=a.

∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，∴AE+a=4b+PC，即AE-PC=4b-a，

∴陰影部分面積之差S=AE·AF-PC·CG=3bAE-aPC=3b（PC+4b-a）-aPC=（3b-a）PC+12b2-3ab，則3b-a=0，即a=3b. 故選B.

【點評】此題考查了整式混合運算的應用，弄清題意是解本題的關鍵.

解法二：當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，左上角與右下角的陰影部分的面積的差S始終保持不變，面積差S與水平長沒有關系，則寬相等（否則兩個增加的面積不一樣大時，面積的差S會發生變化），故選擇B.

四、 數形結合很直觀，邊長大小相比較

例4 （2013·江蘇常州）有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊長分別為a、b（b>a）的矩形紙片，5張邊長為b的正方形紙片，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（按原紙張進行無空隙、無重疊拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為（ ）.

A. a+bB. 2a+bC. 3a+bD. a+2b

【分析】根據3張邊長為a的正方形紙片的面積是3a2，4張邊長分別為a、b（b>a）的矩形紙片的面積是4ab，5張邊長為b的正方形紙片的面積是5b2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根據正方形的面積公式即可得出答案.

解法一：3張邊長為a的正方形紙片的面積是3a2，4張邊長分別為a、b（b>a）的矩形紙片的面積是4ab，5張邊長為b的正方形紙片的面積是5b2，∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，

∴拼成的正方形的邊長最長可以為（a+2b），故選D.

【點評】此題考查了完全平方公式的幾何背景，關鍵是根據題意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知識點是完全平方公式.

解法二：B、C選項中邊長為a的正方形紙片不夠，A、D選項中D的選項比A的長，只需計算D選項是否能夠滿足條件，經計算可以拼成.

五、 裂項相消很奇妙

例5 （2013·湖南郴州）化簡+的結果為（ ）.

A. -1B. 1 C. D.

【分析】先把分式進行通分，把異分母分式化為同分母分式，再把分子相加，即可求出答案.

解法一：+=-==1.

故選B.

【點評】此題考查了分式的加減. 在分式的加減運算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減即可.

解法二：由于第一項的分子與分母的次數相同，所以第一項可以變化為一個整式與一個分子比分母次數低的分式的和的形式，=1+，這樣第二項與原式中的第二項相消，結果為1，選B.

（作者單位：江蘇省鹽城市初級中學）