另辟蹊徑 巧妙解題

李成軍

一次函數和反比例函數是初中數學兩種重要的基本函數，也是各地中考的重要內容. 此類題目的呈現方式比較多，其中蘊含了一些巧妙的思想方法，為同學們的解題提供了一定的思考空間. 下面以幾道近年的中考題為例，談談如何巧解關于一次函數和反比例函數的問題，以期對同學們的復習有所幫助.

類型一 巧解反比例函數中的面積問題

例1 （2011·陜西）如圖1，過y軸正半軸上的任意一點P，作x軸的平行線，分別與反比例函數y=-和y=的圖像交于點A和點B，若點C是x軸上任意一點，連接AC、BC，則△ABC的面積為（ ）.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【分析】此題的一般解法可設A點坐標為

-，m，B點坐標為

，m（m>0），求出AB=，進而求得△ABC的面積為·m·=3. 實際上如果利用同底等高，將△ABC的面積轉化為△ABO的面積，再利用k的意義，會更簡單.

解：連接AO、BO，則S△ABO=S△APO+S△BPO，由反比例函數y=中k的幾何意義，可知S△APO==2，S△BPO==1，所以S△ABC=S△ABO=3.

【點評】對于雙曲線y=（k≠0），k有很重要的意義. 雙曲線上任一點（x，y）到坐標軸的垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為x·y=xy，也就是說k的幾何意義是雙曲線上任一點到坐標軸的垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積. 因此在解決有關反比例函數中的面積問題時，要充分利用k的幾何意義，從而達到巧解的目的.

類型二 巧解取值范圍問題

例2 （2012·四川宜賓）如圖2，一次函數y1=ax+b（a≠0）與反比例函數y2=（k≠0）的圖像交于A（1，4）、B（4，1）兩點，若使y1>y2，則x的取值范圍是______.

【分析】我們首先想到是將一次函數和反比例函數的解析式求出，然后解不等式，但是出現了分式不等式（或二次不等式），同學們不會解，思路受阻. 此時我們可以借助函數圖像，利用數形結合的數學思想，巧妙地將y1>y2在圖像上體現為一次函數的圖像在反比例函數圖像的上方的部分.

解：由圖像知，y1>y2的部分包括反比例函數的圖像在第三象限時和在第一象限內的A、B兩點之間，所以x的取值范圍是x<0或1

例3 （2013·甘肅蘭州）已知A（-1，y1），B（2，y2）兩點在雙曲線y=上，且y1>y2，則m的取值范圍是（ ）.

A. m<0 B. m>0

C. m>- D. m<-

【分析】此題常規解法可將A（-1，y1）、B（2，y2）兩點分別代入雙曲線y=，求出y1與y2的表達式，再根據y1>y2，列出關于m的不等式即可解答. 本題若結合反比例函數的圖像與性質求解，則更簡捷.

解：雙曲線y=的圖像當k>0時，圖像在一、三象限，當k<0時，圖像在二、四象限，題中A點和B點的橫坐標分別為-1和2，要使y1>y2，只能是圖像在二、四象限的情況，所以3+2m<0，即m<-.

【點評】解決此類求不等式成立的自變量取值范圍的問題，通?？梢岳脭敌谓Y合的數學思想進行轉化，達到巧解的目的.

類型三 巧設點的坐標

例4 （2013·廣西南寧）如圖3，直線y=x與雙曲線y=（k>0，x>0）交于點A，將直線y=x向上平移4個單位長度后，與y軸交于點C，與雙曲線y=（k>0，x>0）交于點B，若OA=3BC，則k的值為（ ）.

A. 3 B. 6

C. D.

【分析】本題可首先求出平移后直線的解析式，然后分別聯立方程組求出點A和點B的橫坐標，根據△OAE∽△BCF可得A、B的橫坐標的比等于OA∶BC，然后列出方程求解即可. 實際上，根據相似三角形的比例性質得出A、B的橫坐標的比等于OA∶BC后，可以巧設A、B的坐標分別為m

，m、

，+4（m>0），再根據雙曲線上點的坐標特征，列方程求出m的值，進而求出k的值.

解：直線BC的解析式為y=x+4. 過點A作AE⊥x軸，垂足為E，過點B作BF⊥y軸，垂足為F，容易得到△OAE～△BCF，則=，由于OA=3BC，所以OE=3BF，即A點的橫坐標為B點的橫坐標的3倍，因此由題意可以設A、B的坐標分別為m

，m，

，+4（m>0），而A、B兩點都在雙曲線y=上，可得m·m=·

+4，解得m=3，所以k==.

【點評】此類題目較難，可以根據點的坐標之間的關系，巧設點的坐標求解，從而達到簡化計算的目的.

類型四 巧用對稱性

例5 （2013·湖北鄂州）已知正比例函數y=-4x與反比例函數y=的圖像交于A、B兩點，若點A的坐標為（x，4），則點B的坐標為______.

【分析】本題可先根據正比例函數的解析式求出A點坐標，進而求出反比例函數的解析式，然后將兩函數聯立，解方程組得出B點坐標. 實際上，正比例函數圖像和反比例函數圖像的兩個交點是關于原點對稱，求出A點的坐標后，直接利用此對稱性可求出點B的坐標.

解：由點A（x，4）在y=-4x上，可求出A點坐標為（-1， 4），由對稱性可知B點的坐標為（1，-4）.

例6 （2013·陜西）如果一個正比例函數的圖像與一個反比例函數y=的圖像交于A（x1，y1），B（x2，y2），那么（x2-x1）（y2-y1）的值為______.

【分析】根據正比例函數和反比例函數的圖像的交點坐標關于原點成中心對稱，可以得到x1和x2、y1和y2分別是互為相反數的關系，然后代入所求式子化簡，再根據圖像上點的坐標的特征求值.

解：由對稱性得x2=-x1，y2=-y1，所以（x2-x1）（y2-y1）=（-x1-x1）（-y1-y1）=4x1y1，又由A點在y=的圖像上，所以x1y1=6，即（x2- x1）（y2-y1）=24.

【點評】反比例函數圖像與正比例函數圖像都關于原點成中心對稱，因此它們的交點也關于原點對稱，巧用這種對稱性是解決此類問題的關鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）

一次函數和反比例函數是初中數學兩種重要的基本函數，也是各地中考的重要內容. 此類題目的呈現方式比較多，其中蘊含了一些巧妙的思想方法，為同學們的解題提供了一定的思考空間. 下面以幾道近年的中考題為例，談談如何巧解關于一次函數和反比例函數的問題，以期對同學們的復習有所幫助.

類型一 巧解反比例函數中的面積問題

例1 （2011·陜西）如圖1，過y軸正半軸上的任意一點P，作x軸的平行線，分別與反比例函數y=-和y=的圖像交于點A和點B，若點C是x軸上任意一點，連接AC、BC，則△ABC的面積為（ ）.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【分析】此題的一般解法可設A點坐標為

-，m，B點坐標為

，m（m>0），求出AB=，進而求得△ABC的面積為·m·=3. 實際上如果利用同底等高，將△ABC的面積轉化為△ABO的面積，再利用k的意義，會更簡單.

解：連接AO、BO，則S△ABO=S△APO+S△BPO，由反比例函數y=中k的幾何意義，可知S△APO==2，S△BPO==1，所以S△ABC=S△ABO=3.

【點評】對于雙曲線y=（k≠0），k有很重要的意義. 雙曲線上任一點（x，y）到坐標軸的垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為x·y=xy，也就是說k的幾何意義是雙曲線上任一點到坐標軸的垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積. 因此在解決有關反比例函數中的面積問題時，要充分利用k的幾何意義，從而達到巧解的目的.

類型二 巧解取值范圍問題

例2 （2012·四川宜賓）如圖2，一次函數y1=ax+b（a≠0）與反比例函數y2=（k≠0）的圖像交于A（1，4）、B（4，1）兩點，若使y1>y2，則x的取值范圍是______.

【分析】我們首先想到是將一次函數和反比例函數的解析式求出，然后解不等式，但是出現了分式不等式（或二次不等式），同學們不會解，思路受阻. 此時我們可以借助函數圖像，利用數形結合的數學思想，巧妙地將y1>y2在圖像上體現為一次函數的圖像在反比例函數圖像的上方的部分.

解：由圖像知，y1>y2的部分包括反比例函數的圖像在第三象限時和在第一象限內的A、B兩點之間，所以x的取值范圍是x<0或1

例3 （2013·甘肅蘭州）已知A（-1，y1），B（2，y2）兩點在雙曲線y=上，且y1>y2，則m的取值范圍是（ ）.

A. m<0 B. m>0

C. m>- D. m<-

【分析】此題常規解法可將A（-1，y1）、B（2，y2）兩點分別代入雙曲線y=，求出y1與y2的表達式，再根據y1>y2，列出關于m的不等式即可解答. 本題若結合反比例函數的圖像與性質求解，則更簡捷.

解：雙曲線y=的圖像當k>0時，圖像在一、三象限，當k<0時，圖像在二、四象限，題中A點和B點的橫坐標分別為-1和2，要使y1>y2，只能是圖像在二、四象限的情況，所以3+2m<0，即m<-.

【點評】解決此類求不等式成立的自變量取值范圍的問題，通常可以利用數形結合的數學思想進行轉化，達到巧解的目的.

類型三 巧設點的坐標

例4 （2013·廣西南寧）如圖3，直線y=x與雙曲線y=（k>0，x>0）交于點A，將直線y=x向上平移4個單位長度后，與y軸交于點C，與雙曲線y=（k>0，x>0）交于點B，若OA=3BC，則k的值為（ ）.

A. 3 B. 6

C. D.

【分析】本題可首先求出平移后直線的解析式，然后分別聯立方程組求出點A和點B的橫坐標，根據△OAE∽△BCF可得A、B的橫坐標的比等于OA∶BC，然后列出方程求解即可. 實際上，根據相似三角形的比例性質得出A、B的橫坐標的比等于OA∶BC后，可以巧設A、B的坐標分別為m

，m、

，+4（m>0），再根據雙曲線上點的坐標特征，列方程求出m的值，進而求出k的值.

解：直線BC的解析式為y=x+4. 過點A作AE⊥x軸，垂足為E，過點B作BF⊥y軸，垂足為F，容易得到△OAE～△BCF，則=，由于OA=3BC，所以OE=3BF，即A點的橫坐標為B點的橫坐標的3倍，因此由題意可以設A、B的坐標分別為m

，m，

，+4（m>0），而A、B兩點都在雙曲線y=上，可得m·m=·

+4，解得m=3，所以k==.

【點評】此類題目較難，可以根據點的坐標之間的關系，巧設點的坐標求解，從而達到簡化計算的目的.

類型四 巧用對稱性

例5 （2013·湖北鄂州）已知正比例函數y=-4x與反比例函數y=的圖像交于A、B兩點，若點A的坐標為（x，4），則點B的坐標為______.

【分析】本題可先根據正比例函數的解析式求出A點坐標，進而求出反比例函數的解析式，然后將兩函數聯立，解方程組得出B點坐標. 實際上，正比例函數圖像和反比例函數圖像的兩個交點是關于原點對稱，求出A點的坐標后，直接利用此對稱性可求出點B的坐標.

解：由點A（x，4）在y=-4x上，可求出A點坐標為（-1， 4），由對稱性可知B點的坐標為（1，-4）.

例6 （2013·陜西）如果一個正比例函數的圖像與一個反比例函數y=的圖像交于A（x1，y1），B（x2，y2），那么（x2-x1）（y2-y1）的值為______.

【分析】根據正比例函數和反比例函數的圖像的交點坐標關于原點成中心對稱，可以得到x1和x2、y1和y2分別是互為相反數的關系，然后代入所求式子化簡，再根據圖像上點的坐標的特征求值.

解：由對稱性得x2=-x1，y2=-y1，所以（x2-x1）（y2-y1）=（-x1-x1）（-y1-y1）=4x1y1，又由A點在y=的圖像上，所以x1y1=6，即（x2- x1）（y2-y1）=24.

【點評】反比例函數圖像與正比例函數圖像都關于原點成中心對稱，因此它們的交點也關于原點對稱，巧用這種對稱性是解決此類問題的關鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）

一次函數和反比例函數是初中數學兩種重要的基本函數，也是各地中考的重要內容. 此類題目的呈現方式比較多，其中蘊含了一些巧妙的思想方法，為同學們的解題提供了一定的思考空間. 下面以幾道近年的中考題為例，談談如何巧解關于一次函數和反比例函數的問題，以期對同學們的復習有所幫助.

類型一 巧解反比例函數中的面積問題

例1 （2011·陜西）如圖1，過y軸正半軸上的任意一點P，作x軸的平行線，分別與反比例函數y=-和y=的圖像交于點A和點B，若點C是x軸上任意一點，連接AC、BC，則△ABC的面積為（ ）.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【分析】此題的一般解法可設A點坐標為

-，m，B點坐標為

，m（m>0），求出AB=，進而求得△ABC的面積為·m·=3. 實際上如果利用同底等高，將△ABC的面積轉化為△ABO的面積，再利用k的意義，會更簡單.

解：連接AO、BO，則S△ABO=S△APO+S△BPO，由反比例函數y=中k的幾何意義，可知S△APO==2，S△BPO==1，所以S△ABC=S△ABO=3.

【點評】對于雙曲線y=（k≠0），k有很重要的意義. 雙曲線上任一點（x，y）到坐標軸的垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為x·y=xy，也就是說k的幾何意義是雙曲線上任一點到坐標軸的垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積. 因此在解決有關反比例函數中的面積問題時，要充分利用k的幾何意義，從而達到巧解的目的.

類型二 巧解取值范圍問題

例2 （2012·四川宜賓）如圖2，一次函數y1=ax+b（a≠0）與反比例函數y2=（k≠0）的圖像交于A（1，4）、B（4，1）兩點，若使y1>y2，則x的取值范圍是______.

【分析】我們首先想到是將一次函數和反比例函數的解析式求出，然后解不等式，但是出現了分式不等式（或二次不等式），同學們不會解，思路受阻. 此時我們可以借助函數圖像，利用數形結合的數學思想，巧妙地將y1>y2在圖像上體現為一次函數的圖像在反比例函數圖像的上方的部分.

解：由圖像知，y1>y2的部分包括反比例函數的圖像在第三象限時和在第一象限內的A、B兩點之間，所以x的取值范圍是x<0或1

例3 （2013·甘肅蘭州）已知A（-1，y1），B（2，y2）兩點在雙曲線y=上，且y1>y2，則m的取值范圍是（ ）.

A. m<0 B. m>0

C. m>- D. m<-

【分析】此題常規解法可將A（-1，y1）、B（2，y2）兩點分別代入雙曲線y=，求出y1與y2的表達式，再根據y1>y2，列出關于m的不等式即可解答. 本題若結合反比例函數的圖像與性質求解，則更簡捷.

解：雙曲線y=的圖像當k>0時，圖像在一、三象限，當k<0時，圖像在二、四象限，題中A點和B點的橫坐標分別為-1和2，要使y1>y2，只能是圖像在二、四象限的情況，所以3+2m<0，即m<-.

【點評】解決此類求不等式成立的自變量取值范圍的問題，通常可以利用數形結合的數學思想進行轉化，達到巧解的目的.

類型三 巧設點的坐標

例4 （2013·廣西南寧）如圖3，直線y=x與雙曲線y=（k>0，x>0）交于點A，將直線y=x向上平移4個單位長度后，與y軸交于點C，與雙曲線y=（k>0，x>0）交于點B，若OA=3BC，則k的值為（ ）.

A. 3 B. 6

C. D.

【分析】本題可首先求出平移后直線的解析式，然后分別聯立方程組求出點A和點B的橫坐標，根據△OAE∽△BCF可得A、B的橫坐標的比等于OA∶BC，然后列出方程求解即可. 實際上，根據相似三角形的比例性質得出A、B的橫坐標的比等于OA∶BC后，可以巧設A、B的坐標分別為m

，m、

，+4（m>0），再根據雙曲線上點的坐標特征，列方程求出m的值，進而求出k的值.

解：直線BC的解析式為y=x+4. 過點A作AE⊥x軸，垂足為E，過點B作BF⊥y軸，垂足為F，容易得到△OAE～△BCF，則=，由于OA=3BC，所以OE=3BF，即A點的橫坐標為B點的橫坐標的3倍，因此由題意可以設A、B的坐標分別為m

，m，

，+4（m>0），而A、B兩點都在雙曲線y=上，可得m·m=·

+4，解得m=3，所以k==.

【點評】此類題目較難，可以根據點的坐標之間的關系，巧設點的坐標求解，從而達到簡化計算的目的.

類型四 巧用對稱性

例5 （2013·湖北鄂州）已知正比例函數y=-4x與反比例函數y=的圖像交于A、B兩點，若點A的坐標為（x，4），則點B的坐標為______.

【分析】本題可先根據正比例函數的解析式求出A點坐標，進而求出反比例函數的解析式，然后將兩函數聯立，解方程組得出B點坐標. 實際上，正比例函數圖像和反比例函數圖像的兩個交點是關于原點對稱，求出A點的坐標后，直接利用此對稱性可求出點B的坐標.

解：由點A（x，4）在y=-4x上，可求出A點坐標為（-1， 4），由對稱性可知B點的坐標為（1，-4）.

例6 （2013·陜西）如果一個正比例函數的圖像與一個反比例函數y=的圖像交于A（x1，y1），B（x2，y2），那么（x2-x1）（y2-y1）的值為______.

【分析】根據正比例函數和反比例函數的圖像的交點坐標關于原點成中心對稱，可以得到x1和x2、y1和y2分別是互為相反數的關系，然后代入所求式子化簡，再根據圖像上點的坐標的特征求值.

解：由對稱性得x2=-x1，y2=-y1，所以（x2-x1）（y2-y1）=（-x1-x1）（-y1-y1）=4x1y1，又由A點在y=的圖像上，所以x1y1=6，即（x2- x1）（y2-y1）=24.

【點評】反比例函數圖像與正比例函數圖像都關于原點成中心對稱，因此它們的交點也關于原點對稱，巧用這種對稱性是解決此類問題的關鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）