緊扣考點(diǎn)巧復(fù)習(xí)

張啟

反比例函數(shù)是近幾年中考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題之一，下面就對2013年中考試卷和模擬卷中出現(xiàn)的有關(guān)反比例函數(shù)的幾類考點(diǎn)加以說明.

考點(diǎn)一 反比例函數(shù)的概念

例1 （2013·貴州安順）若y=（a+1）xa2-2是反比例函數(shù)，則a的取值為（ ）.

A. 1 B. -1

C. ±1 D. 任意實(shí)數(shù)

【分析】此題考查的是反比例函數(shù)的定義. y=，k≠0，x的次數(shù)為“-1”，列出方程，求出a的值.

解：∵y=（a+1）xa2-2是反比例函數(shù)，

∴a2-2=-1，a=±1，又a+1≠0，∴a≠-1，∴a=1. 選A.

【點(diǎn)評】緊扣概念，牢記反比例函數(shù)的三種形式：y=（k≠0）、xy=k（k≠0）、y=kx-1（k≠0），此類問題常以填空、選擇題的形式出現(xiàn)，解題時(shí)要特別注意k≠0.

考點(diǎn)二 反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

例2 （2013·南京溧水區(qū)一模）在反比例函數(shù)y=（k<0）的圖像上有兩點(diǎn)（-1，y1），

-，y2，則y1-y2的值是（ ）.

A. 負(fù)數(shù) B. 非正數(shù)

C. 正數(shù) D. 不能確定

【分析】本題主要考查反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可結(jié)合函數(shù)圖像的增減性解決問題. 因?yàn)閥=（k<0）的圖像位于第二、四象限，且在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，由題目所給的條件可知兩點(diǎn)均在第二象限，所以只需比較x的大小就能得出y的大小，進(jìn)而判斷出y1-y2的正負(fù).

解：由于反比例函數(shù)的圖像位于二、四象限，且在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大. 兩點(diǎn)（-1，y1），

-，y2均在第二象限，且-1<-，∴y1

例3 （2013·江蘇南京）在同一直角坐標(biāo)系中，若正比例函數(shù)y=k1x的圖像與反比例函數(shù)y=的圖像沒有公共點(diǎn)，則（ ）.

A. k1+k2<0 B. k1+k2>0

C. k1k2<0 D. k1k2>0

【分析】本題是關(guān)于正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖像性質(zhì)的簡單應(yīng)用，根據(jù)它們圖像的分布可知：①當(dāng)k>0時(shí)，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都過一、三象限，有兩個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)k<0時(shí)，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都過二、四象限，有兩個(gè)交點(diǎn). 又因?yàn)楸绢}中兩函數(shù)圖像沒有交點(diǎn)，可知k1和k2異號，所以選擇C.

考點(diǎn)三 反比例函數(shù)解析式的確定

例4 （2013·內(nèi)蒙古赤峰）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，☉O的半徑為1，∠BOA=45°，則過點(diǎn)A的雙曲線的解析式是____________.

【分析】要確定反比例函數(shù)的解析式，只需知道一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo). 由于點(diǎn)A在雙曲線上，所以求出A點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵. 要想求出A點(diǎn)坐標(biāo)，只需過點(diǎn)A向x軸作垂線構(gòu)造一直角三角形，再用勾股定理便可求出其坐標(biāo).

解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=（k≠0），過A作AC垂直于x軸，垂足為C，☉O的半徑為1，OA=1，在Rt△OAC中，OA=1，∠BOA=45°，∴OC=AC，由勾股定理可求出OC=AC=，∴A

，，代入可得k=，∴y=.

【點(diǎn)評】此題考查的是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，待定系數(shù)法是中學(xué)階段求解析式的常用方法，也是重點(diǎn)考查內(nèi)容之一. 解答此題需運(yùn)用“反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征”（點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，則點(diǎn)的坐標(biāo)就滿足反比例函數(shù)的解析式）這一知識點(diǎn).

考點(diǎn)四 反比例函數(shù)中k的幾何意義

例5 （2013·湖南永州）如圖2，兩個(gè)反比例函數(shù)y=、y=在第一象限內(nèi)的圖像分別是C1、C2，設(shè)點(diǎn)P在C1上，PA⊥x軸于點(diǎn)A，交C2于點(diǎn)B，則△POB的面積為______.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義，得△POA和△BOA的面積分別為2和1，所以陰影部分的面積為1.

【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)y=（k≠0）中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸的垂線，與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S=k；圖像上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S=k，解此類題一定要正確理解k的幾何意義.

考點(diǎn)五 反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用

例6 （2013·廣西欽州）如圖3，一次函數(shù)y=ax+b的圖像與反比例函數(shù)y=的圖像交于A（-2，m）、B（4，-2）兩點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，過A作AD⊥x軸于D.

（1） 求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；

（2） 求△ADC的面積.

【分析】本題是有關(guān)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)過A、B兩點(diǎn)，所以代入兩點(diǎn)可求其解析式和m的值，從而知A點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B兩點(diǎn)進(jìn)而求一次函數(shù)解析式，從而求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，接著就能求出三角形的面積.

解：（1） ∵反比例函數(shù)y=的圖像過點(diǎn)B（4，-2），∴k=xy=-8.

∵反比例函數(shù)y=的圖像過點(diǎn)A（-2，m），∴-8=-2m，m=4，即A（-2，4）.

∵一次函數(shù)y=ax+b的圖像過A（-2，4），B（4，-2）兩點(diǎn)，

∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+2.

（2） ∵直線AB：y=-x+2交x軸于點(diǎn)C，

∴C（2，0）. ∵AD⊥x軸于D，A（-2，4），

∴CD=2-（-2）=4，AD=4，

∴S△ADC=·CD·AD=×4×4=8.

（作者單位：江蘇省豐縣中學(xué)）

反比例函數(shù)是近幾年中考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題之一，下面就對2013年中考試卷和模擬卷中出現(xiàn)的有關(guān)反比例函數(shù)的幾類考點(diǎn)加以說明.

考點(diǎn)一 反比例函數(shù)的概念

例1 （2013·貴州安順）若y=（a+1）xa2-2是反比例函數(shù)，則a的取值為（ ）.

A. 1 B. -1

C. ±1 D. 任意實(shí)數(shù)

【分析】此題考查的是反比例函數(shù)的定義. y=，k≠0，x的次數(shù)為“-1”，列出方程，求出a的值.

解：∵y=（a+1）xa2-2是反比例函數(shù)，

∴a2-2=-1，a=±1，又a+1≠0，∴a≠-1，∴a=1. 選A.

【點(diǎn)評】緊扣概念，牢記反比例函數(shù)的三種形式：y=（k≠0）、xy=k（k≠0）、y=kx-1（k≠0），此類問題常以填空、選擇題的形式出現(xiàn)，解題時(shí)要特別注意k≠0.

考點(diǎn)二 反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

例2 （2013·南京溧水區(qū)一模）在反比例函數(shù)y=（k<0）的圖像上有兩點(diǎn)（-1，y1），

-，y2，則y1-y2的值是（ ）.

A. 負(fù)數(shù) B. 非正數(shù)

C. 正數(shù) D. 不能確定

【分析】本題主要考查反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可結(jié)合函數(shù)圖像的增減性解決問題. 因?yàn)閥=（k<0）的圖像位于第二、四象限，且在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，由題目所給的條件可知兩點(diǎn)均在第二象限，所以只需比較x的大小就能得出y的大小，進(jìn)而判斷出y1-y2的正負(fù).

解：由于反比例函數(shù)的圖像位于二、四象限，且在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大. 兩點(diǎn)（-1，y1），

-，y2均在第二象限，且-1<-，∴y1

例3 （2013·江蘇南京）在同一直角坐標(biāo)系中，若正比例函數(shù)y=k1x的圖像與反比例函數(shù)y=的圖像沒有公共點(diǎn)，則（ ）.

A. k1+k2<0 B. k1+k2>0

C. k1k2<0 D. k1k2>0

【分析】本題是關(guān)于正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖像性質(zhì)的簡單應(yīng)用，根據(jù)它們圖像的分布可知：①當(dāng)k>0時(shí)，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都過一、三象限，有兩個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)k<0時(shí)，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都過二、四象限，有兩個(gè)交點(diǎn). 又因?yàn)楸绢}中兩函數(shù)圖像沒有交點(diǎn)，可知k1和k2異號，所以選擇C.

考點(diǎn)三 反比例函數(shù)解析式的確定

例4 （2013·內(nèi)蒙古赤峰）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，☉O的半徑為1，∠BOA=45°，則過點(diǎn)A的雙曲線的解析式是____________.

【分析】要確定反比例函數(shù)的解析式，只需知道一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo). 由于點(diǎn)A在雙曲線上，所以求出A點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵. 要想求出A點(diǎn)坐標(biāo)，只需過點(diǎn)A向x軸作垂線構(gòu)造一直角三角形，再用勾股定理便可求出其坐標(biāo).

解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=（k≠0），過A作AC垂直于x軸，垂足為C，☉O的半徑為1，OA=1，在Rt△OAC中，OA=1，∠BOA=45°，∴OC=AC，由勾股定理可求出OC=AC=，∴A

，，代入可得k=，∴y=.

【點(diǎn)評】此題考查的是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，待定系數(shù)法是中學(xué)階段求解析式的常用方法，也是重點(diǎn)考查內(nèi)容之一. 解答此題需運(yùn)用“反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征”（點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，則點(diǎn)的坐標(biāo)就滿足反比例函數(shù)的解析式）這一知識點(diǎn).

考點(diǎn)四 反比例函數(shù)中k的幾何意義

例5 （2013·湖南永州）如圖2，兩個(gè)反比例函數(shù)y=、y=在第一象限內(nèi)的圖像分別是C1、C2，設(shè)點(diǎn)P在C1上，PA⊥x軸于點(diǎn)A，交C2于點(diǎn)B，則△POB的面積為______.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義，得△POA和△BOA的面積分別為2和1，所以陰影部分的面積為1.

【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)y=（k≠0）中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸的垂線，與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S=k；圖像上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S=k，解此類題一定要正確理解k的幾何意義.

考點(diǎn)五 反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用

例6 （2013·廣西欽州）如圖3，一次函數(shù)y=ax+b的圖像與反比例函數(shù)y=的圖像交于A（-2，m）、B（4，-2）兩點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，過A作AD⊥x軸于D.

（1） 求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；

（2） 求△ADC的面積.

【分析】本題是有關(guān)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)過A、B兩點(diǎn)，所以代入兩點(diǎn)可求其解析式和m的值，從而知A點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B兩點(diǎn)進(jìn)而求一次函數(shù)解析式，從而求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，接著就能求出三角形的面積.

解：（1） ∵反比例函數(shù)y=的圖像過點(diǎn)B（4，-2），∴k=xy=-8.

∵反比例函數(shù)y=的圖像過點(diǎn)A（-2，m），∴-8=-2m，m=4，即A（-2，4）.

∵一次函數(shù)y=ax+b的圖像過A（-2，4），B（4，-2）兩點(diǎn)，

∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+2.

（2） ∵直線AB：y=-x+2交x軸于點(diǎn)C，

∴C（2，0）. ∵AD⊥x軸于D，A（-2，4），

∴CD=2-（-2）=4，AD=4，

∴S△ADC=·CD·AD=×4×4=8.

（作者單位：江蘇省豐縣中學(xué)）

反比例函數(shù)是近幾年中考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題之一，下面就對2013年中考試卷和模擬卷中出現(xiàn)的有關(guān)反比例函數(shù)的幾類考點(diǎn)加以說明.

考點(diǎn)一 反比例函數(shù)的概念

例1 （2013·貴州安順）若y=（a+1）xa2-2是反比例函數(shù)，則a的取值為（ ）.

A. 1 B. -1

C. ±1 D. 任意實(shí)數(shù)

【分析】此題考查的是反比例函數(shù)的定義. y=，k≠0，x的次數(shù)為“-1”，列出方程，求出a的值.

解：∵y=（a+1）xa2-2是反比例函數(shù)，

∴a2-2=-1，a=±1，又a+1≠0，∴a≠-1，∴a=1. 選A.

【點(diǎn)評】緊扣概念，牢記反比例函數(shù)的三種形式：y=（k≠0）、xy=k（k≠0）、y=kx-1（k≠0），此類問題常以填空、選擇題的形式出現(xiàn)，解題時(shí)要特別注意k≠0.

考點(diǎn)二 反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

例2 （2013·南京溧水區(qū)一模）在反比例函數(shù)y=（k<0）的圖像上有兩點(diǎn)（-1，y1），

-，y2，則y1-y2的值是（ ）.

A. 負(fù)數(shù) B. 非正數(shù)

C. 正數(shù) D. 不能確定

【分析】本題主要考查反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可結(jié)合函數(shù)圖像的增減性解決問題. 因?yàn)閥=（k<0）的圖像位于第二、四象限，且在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，由題目所給的條件可知兩點(diǎn)均在第二象限，所以只需比較x的大小就能得出y的大小，進(jìn)而判斷出y1-y2的正負(fù).

解：由于反比例函數(shù)的圖像位于二、四象限，且在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大. 兩點(diǎn)（-1，y1），

-，y2均在第二象限，且-1<-，∴y1

例3 （2013·江蘇南京）在同一直角坐標(biāo)系中，若正比例函數(shù)y=k1x的圖像與反比例函數(shù)y=的圖像沒有公共點(diǎn)，則（ ）.

A. k1+k2<0 B. k1+k2>0

C. k1k2<0 D. k1k2>0

【分析】本題是關(guān)于正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖像性質(zhì)的簡單應(yīng)用，根據(jù)它們圖像的分布可知：①當(dāng)k>0時(shí)，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都過一、三象限，有兩個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)k<0時(shí)，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都過二、四象限，有兩個(gè)交點(diǎn). 又因?yàn)楸绢}中兩函數(shù)圖像沒有交點(diǎn)，可知k1和k2異號，所以選擇C.

考點(diǎn)三 反比例函數(shù)解析式的確定

例4 （2013·內(nèi)蒙古赤峰）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，☉O的半徑為1，∠BOA=45°，則過點(diǎn)A的雙曲線的解析式是____________.

【分析】要確定反比例函數(shù)的解析式，只需知道一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo). 由于點(diǎn)A在雙曲線上，所以求出A點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵. 要想求出A點(diǎn)坐標(biāo)，只需過點(diǎn)A向x軸作垂線構(gòu)造一直角三角形，再用勾股定理便可求出其坐標(biāo).

解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=（k≠0），過A作AC垂直于x軸，垂足為C，☉O的半徑為1，OA=1，在Rt△OAC中，OA=1，∠BOA=45°，∴OC=AC，由勾股定理可求出OC=AC=，∴A

，，代入可得k=，∴y=.

【點(diǎn)評】此題考查的是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，待定系數(shù)法是中學(xué)階段求解析式的常用方法，也是重點(diǎn)考查內(nèi)容之一. 解答此題需運(yùn)用“反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征”（點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，則點(diǎn)的坐標(biāo)就滿足反比例函數(shù)的解析式）這一知識點(diǎn).

考點(diǎn)四 反比例函數(shù)中k的幾何意義

例5 （2013·湖南永州）如圖2，兩個(gè)反比例函數(shù)y=、y=在第一象限內(nèi)的圖像分別是C1、C2，設(shè)點(diǎn)P在C1上，PA⊥x軸于點(diǎn)A，交C2于點(diǎn)B，則△POB的面積為______.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義，得△POA和△BOA的面積分別為2和1，所以陰影部分的面積為1.

【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)y=（k≠0）中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸的垂線，與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S=k；圖像上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S=k，解此類題一定要正確理解k的幾何意義.

考點(diǎn)五 反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用

例6 （2013·廣西欽州）如圖3，一次函數(shù)y=ax+b的圖像與反比例函數(shù)y=的圖像交于A（-2，m）、B（4，-2）兩點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，過A作AD⊥x軸于D.

（1） 求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；

（2） 求△ADC的面積.

【分析】本題是有關(guān)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)過A、B兩點(diǎn)，所以代入兩點(diǎn)可求其解析式和m的值，從而知A點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B兩點(diǎn)進(jìn)而求一次函數(shù)解析式，從而求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，接著就能求出三角形的面積.

解：（1） ∵反比例函數(shù)y=的圖像過點(diǎn)B（4，-2），∴k=xy=-8.

∵反比例函數(shù)y=的圖像過點(diǎn)A（-2，m），∴-8=-2m，m=4，即A（-2，4）.

∵一次函數(shù)y=ax+b的圖像過A（-2，4），B（4，-2）兩點(diǎn)，

∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+2.

（2） ∵直線AB：y=-x+2交x軸于點(diǎn)C，

∴C（2，0）. ∵AD⊥x軸于D，A（-2，4），

∴CD=2-（-2）=4，AD=4，

∴S△ADC=·CD·AD=×4×4=8.

（作者單位：江蘇省豐縣中學(xué)）