一道課本習(xí)題的演變與拓展

【課本原題】學(xué)校生物課外活動(dòng)小組要在兔舍外面開(kāi)辟一個(gè)面積為20 m2的長(zhǎng)方形活動(dòng)場(chǎng)地. 它的一邊靠墻，其余三邊利用長(zhǎng)13 m的舊圍欄. 已知兔舍墻面寬6 m. 問(wèn)圍成長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是多少？（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第102頁(yè)第9題）

這個(gè)問(wèn)題的解答比較容易，請(qǐng)自己完成.

【演變過(guò)程】將課本中的這道習(xí)題變換一下情境，即將“在兔舍外面開(kāi)辟一個(gè)長(zhǎng)方形活動(dòng)場(chǎng)地”置換為“在校園里利用圍墻的一段圍成一個(gè)矩形花園”，將“兔舍墻面寬6 m”改為“校園圍墻最長(zhǎng)可利用25 m”，將“長(zhǎng)13 m的舊圍欄”置換為“50 m長(zhǎng)的墻的材料”，面積由“20 m2”改為“300 m2”，即可得到下列中考題.

【考題在線】（2012·湖南湘潭）如圖1，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園ABCD（圍墻MN最長(zhǎng)可利用25 m），現(xiàn)在已備足可以砌50 m長(zhǎng)的墻的材料，試設(shè)計(jì)一種砌法，使矩形花園的面積為300 m2.

【思路分析】根據(jù)可以砌50 m長(zhǎng)的墻的材料，即總長(zhǎng)度是50 m，設(shè)AB=x m，則BC=（50-2x） m，再根據(jù)矩形面積公式列一元二次方程求解即可.

【滿分解答】設(shè)AB=x m，則BC=（50-2x） m. 根據(jù)題意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15. 當(dāng)x1=10時(shí)，BC=50-2x=30>25（舍去）；當(dāng)x2=15時(shí)，BC=50-2x=20<25（符合要求）. 故可圍成AB長(zhǎng)為15米，BC為20米的矩形.

【拓展變式】對(duì)上述問(wèn)題中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)、形狀和可利用的墻長(zhǎng)進(jìn)行變換，可得到許多新問(wèn)題：

變式1：某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園ABCD，現(xiàn)在已備足可以砌50 m長(zhǎng)的墻的材料，試設(shè)計(jì)一種砌法，使矩形花園的面積為300 m2. 如果圍墻MN最長(zhǎng)可利用a m，圍成長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是多少？

【思路點(diǎn)撥】先用上述試題的解法求出AB和BC的長(zhǎng)，再結(jié)合圍墻MN最長(zhǎng)可利用的長(zhǎng)度a m的變化來(lái)確定問(wèn)題的解的情況：當(dāng)a≥30時(shí)，問(wèn)題有兩解；當(dāng)20≤a<30時(shí)，問(wèn)題只有一解；當(dāng)a<20時(shí)，問(wèn)題無(wú)解.

變式2：如圖2，要建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，如果用50 m長(zhǎng)的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場(chǎng)，設(shè)它的長(zhǎng)度為x m.

（1） 要使雞場(chǎng)面積最大，雞場(chǎng)長(zhǎng)度應(yīng)為多少？

（2） 如果中間有n（n是大于1的整數(shù)）道籬笆隔墻，要使雞場(chǎng)面積最大，雞場(chǎng)長(zhǎng)應(yīng)為多少？

比較（1）（2）的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？

【思路點(diǎn)撥】（1） 設(shè)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為x m，則寬為（50-x） m，利用矩形面積公式構(gòu)造二次函數(shù)，再用配方法求出二次函數(shù)取最大值時(shí)雞場(chǎng)的長(zhǎng)度；（2） 設(shè)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為x m，則寬為（50-x） m，利用矩形面積公式構(gòu)造二次函數(shù)，再用配方法求出二次函數(shù)取最大值時(shí)雞場(chǎng)的長(zhǎng)度. 觀察（1）、（2）可知，要使雞場(chǎng)面積最大，它的長(zhǎng)與n無(wú)關(guān)，總等于籬笆總長(zhǎng)的一半.

變式3：如圖3，有一面積為150 m2的半圓形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)18 m），半圓弧用竹籬笆圍成，問(wèn)竹籬笆的長(zhǎng)度是多少m？

【思路點(diǎn)撥】設(shè)半圓的半徑為r米，可用半圓的面積公式求出r，檢驗(yàn)2r是否小于18，再求出半圓周長(zhǎng)，即得竹籬笆的長(zhǎng)度.

【參考答案】

變式1：設(shè)AB=x m，則BC=（50-2x） m. 根據(jù)題意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15. 當(dāng)x=10時(shí)，BC=30；當(dāng)x=15時(shí)，BC=20. 所以，當(dāng)a≥30時(shí)有兩解，即可圍成AB長(zhǎng)為10米，BC為30米或AB長(zhǎng)為15米，BC為20米的矩形；當(dāng)20≤a<30時(shí)，只有一解：可圍成AB長(zhǎng)為15米，BC為20米的矩形；當(dāng)a<20時(shí)，問(wèn)題無(wú)解.

變式2：（1） 設(shè)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為x m，面積為y m2，則寬為（50-x） m，y=x×（50-x）=-（x-25）2+，所以當(dāng)x=25 m時(shí)，雞場(chǎng)面積最大；（2） 設(shè)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為x m，面積為y m2，則寬為（50-x） m，y=x×（50-x）=-（x-25）2+，所以當(dāng)x=25 m時(shí)，雞場(chǎng)面積最大. 由（1）、（2）的結(jié)果可以得出結(jié)論：不論雞場(chǎng)中間有幾道隔墻，要使雞場(chǎng)面積最大，它的長(zhǎng)總等于籬笆總長(zhǎng)的一半.

變式3：設(shè)半圓的半徑為r米，則有πr2=150，解得r=，故竹籬笆的長(zhǎng)度為πr=10（m）.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級(jí)中學(xué)）