等腰三角形中的分類討論

【思維導圖】

【名師箴言】

三角形是最簡單的多邊形，也是最基本的多邊形，它在幾何圖形中占有重要的地位. 眾多復雜的多邊形的問題，都可以通過分割分解成若干個三角形，運用三角形的知識來解決；三角形的許多重要性質(zhì)，是研究其他幾何圖形的基礎(chǔ).

三角形的全等和相似是研究圖形問題最基本的方法和策略. 它是研究四邊形、圓等復雜圖形以及函數(shù)等知識的重要工具.

三角形的知識在中考試題中占有相當重要的地位，希望同學們努力掌握好基礎(chǔ)知識以及最基本的解決問題的方法和策略，能靈活地解決相關(guān)問題.

等腰三角形中的分類討論

等腰三角形是初中數(shù)學的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，中考考點的核心就是它與分類討論結(jié)合考查. 舉例如下：

一、 關(guān)于角的討論

例1 （2013·欽州）等腰三角形的一個角是80°，則它頂角的度數(shù)是（）.

A. 80°B. 80°或20°

C. 80°或50°D. 20°

【解析】分80°角是頂角與底角兩種情況討論：①80°角是頂角時，三角形的頂角為80°；②80°角是底角時，頂角為180°-80°×2=20°. 綜上所述，該等腰三角形頂角的度數(shù)為80°或20°. 故選B.

【變式】若將80°改為100°要注意100°角不能做底角.

例2 在△ABC中，∠A=50°，當∠B=_____°時，△ABC是等腰三角形.

【解析】①∠B是頂角時，∠A一定是底角，則有∠B=80°；②∠B角是底角時，∠A若是底角，則有∠B=50°，∠A若是頂角，得∠B=65°.

【點評】這一類問題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；題目中沒有明確頂角或底角，做題時要注意分情況進行討論，這是解決問題的關(guān)鍵.

二、 關(guān)于邊的討論

例3 （2013·淮安）若等腰三角形有兩條邊的長度為3和1，則此等腰三角形的周長為（）.

A. 5B. 7C. 5或7D. 6

【解析】因為已知長度為3和1兩邊，沒有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論. ①當3為底時，其他兩邊都為1，∵1+1<3，∴不能構(gòu)成三角形，故舍去；②當3為腰時，其他兩邊為3和1，3、3、1可以構(gòu)成三角形，周長為7.

【變式1】（2013·涼山州）已知實數(shù)x，y滿足x-4+=0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是______.

【答案】20.

【變式2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-0.5）=0.

（1） 判斷這個一元二次方程的根的情況；

（2） 若等腰三角形的一邊長為3，另兩條邊的長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長及面積.

【答案】（1） b2-4ac=（2k-3）2≥0，所以方程有實數(shù)根.

（2） 分兩種情況討論：①若腰為3，則x=3是方程的一個根，可求得三邊為3，3，2.那么這個等腰三角形的周長為8，面積為2. ②若底為3，則b2-4ac=（2k-3）2=0，可求得三邊為2，2，3. 那么這個等腰三角形的周長為7，面積為.

【點評】本例考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；在已知條件中沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

例4 （2013·玉林）如圖1，在直角坐標系中，O是原點，已知A（4，3），P是坐標軸上的一點，若以O(shè)，A，P三點組成的三角形為等腰三角形，則滿足條件的點P共有______個，寫出其中一個點P的坐標是______.

【解析】本例考查了等腰三角形的判定、坐標與圖形的性質(zhì). 如圖2，從x軸上考慮，以O(shè)A為腰長的等腰三角形有3個，P4（5，0），P2（8，0），P5（-5，0），以O(shè)A為底邊的等腰三角形有1個，P8

，0. y軸上情況與x軸相似，P3（0，5），P1（0，6），P6（0，-5），P70

，，故滿足條件的點P共有8個.

【變式1】如圖3，一種電子游戲，電子屏幕上有一正方形ABCD，點P沿直線AB左右移動，當出現(xiàn)：點P與正方形四個頂點中的任意兩個頂點構(gòu)成等腰三角形時，就會發(fā)出警報，則直線AB上會發(fā)出警報的點P有______個.

【答案】設(shè)正方形邊長為a. 分類討論如下：①腰長為a的等腰三角形有4個；②腰長為a的等腰三角形有4個；③以CD為底邊的等腰三角形有1個. 共9個.

【變式2】如圖4，在平面直角坐標系中，點A，C分別在x軸，y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點D與點A關(guān)于y軸對稱，=，點E，F(xiàn)分別是線段AD，AC上的動點（點E不與點A，D重合），且∠CEF=∠ACB.

（1） 求AC的長和點D的坐標；

（2） 說明△AEF與△DCE相似；

（3） 當△EFC為等腰三角形時，求點E的坐標.

【答案】（1） AC=20，D（12，0）；

（2） 欲證△AEF與△DCE相似，只需要證明兩個對應(yīng)角相等. ∠CDE=∠CAO，∠AEF

=∠DCE；

（3） 當△EFC為等腰三角形時，有三種情況：①當CE=EF時，△AEF與△DCE的相似比為1，則有AE=CD=20，E（8，0）.

②當EF=FC時，此時過點F作FM⊥CE于M，則點M為CE的中點，△FME∽△ABC得出=，那么△AEF∽△DCE的相似比為5∶6，E

，0.

③當CE=CF時，F(xiàn)點與A點重合，E點與D點重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在.

例5 如圖5，半圓O的半徑為4 cm，AB是☉O的直徑，BC切☉O于點B，且BC=4 cm，當點P在☉O上運動時，是否存在點P，使得△PBC為等腰三角形？若存在，有幾個符合條件的點P，并分別求出點P到線段BC的距離；若不存在，請說明理由.

【解析】本例是等腰三角形與圓相結(jié)合的一個綜合題，解決問題的關(guān)鍵是分BC為腰、BC為底邊兩種情況來解決. 如圖6，①BP1=BC，②CP2=BC，③CP=BP，即作BC的垂直平分線交☉O于P3，P4.

例6 如圖7，拋物線y=-x2+4x+n經(jīng)過點A（1，0），與y軸交于點B.

（1） 求拋物線解析式和頂點坐標；

（2） 若P是坐標軸上一點，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求P點坐標.

【解析】本例是等腰三角形與二次函數(shù)結(jié)合的綜合題.

（1） 由該函數(shù)圖像經(jīng)過A點（1，0），由0=-1+4+n得n=-3，解析式是y=-x2+4x-3

=-（x-2）2+1，頂點坐標為（2，1）.

（2） 由題意知，B點坐標是（0，-3），AB的長是，要注意的是問題中強調(diào)“以AB為腰”所以不必習慣性地分AB為腰，AB為底邊兩類討論，而是分P點在x軸或y軸上進行討論. ①當P點在x軸上時，P點坐標為（1+，0），（1-，0），（-1，0）；②當P點在y軸上時，P點坐標為（0，3） ，（0，-3+），（0，-3-）.

【變式】如圖8，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A（3，3）、B（4，0）和原點O. P為二次函數(shù)圖像上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點C.

（1） 求出二次函數(shù)的解析式；

（2） 當點P在直線OA的上方時，用含m的代數(shù)式表示線段PC的長，并求線段PC的最大值；

（3） 當m>0時，探索是否存在點P，使得△PCO為等腰三角形，如果存在，請直接寫出所有P的坐標；如果不存在，請說明理由.

【答案】（1） 設(shè)y=ax2+bx，把A、B點坐標代入，求出解析式為y=-x2+4x；

（2） 根據(jù)點P（m，-m2+4m），點C（m，m）的坐標代入，得PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2

+3m=-m

-2+，PC的最大值為；

（3） 當0

當m≥3時，PC=m2-3m，OC=m，分三種情況：

①當OC=PC時，m2-3m=m，解得：m=3+或m=0（舍去），P（3+，1-2）；

②當OC=OP時，（m）2=m2+（-m2+4m）2，解得：m1=5，m2=3（舍去），P（5，-5）；

③當PC=OP時，（m2-3m）2=m2+（-m2+4m）2，解得：m=4，P（4，0）.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實驗初級中學）