讓勾股定理與列方程合作共處

勾股定理是幾何中最重要的定理之一，也是直角三角形的一條重要性質. 方程思想是初中數學中一種基本的數學思想方法，方程是溝通已知量和未知量的橋梁. 利用勾股定理作為相等關系建立方程可以解決許多相關問題. 下面舉例說明利用勾股定理列方程解決問題常見的兩個數學模型.

模型一：找到一個聯系已知和未知的直角三角形，利用a2+b2=c2建立方程

例1 （2006·廈門）有古詩《葭生池中》——今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何（1丈=10尺）？

【解析】這是我國古代數學著作《九章算術》中的一個問題. 在如圖1所示的Rt△ABC中，可設水深BC=x尺，則葭長=（x+1）尺，AB=5尺，根據勾股定理可列出方程x2+52=（x+1）2，解得x=12尺，故水深、葭長各為12尺、13尺.

例2 （2002·南通）如圖2，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6 cm，BC=8 cm，現將直角邊AC沿直線AD折疊，使點C落在斜邊AB上的點E處，求CD的長.

【解析】結合題意易知BE=4 cm，CD=DE，在Rt△BDE中，可設DE=x cm，則DB=（8-x） cm，根據勾股定理可列方程x2+42=（8-x）2，解得x=3，故CD的長為3 cm.

例3 （2012·菏澤）如圖3，OABC是一張放在平面直角坐標系中的長方形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=10，OC=8，在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，求D、E兩點的坐標.

【解析】要求D、E兩點的坐標，只需求出OD、CE的長即可，根據題意依次可知AE=10，BE=6，CE=4，可得E（4，8），在Rt△CDE中，可設DE=x，則OD=x，CD=8-x，根據勾股定理可列方程（8-x）2+42=x2，解得x=5，故D（0，5）.

例4 （2006·涼山州）如圖4，直線y=-x+8與x軸、y軸分別相交于點A、B，設M是OB上一點，若將△ABM沿AM折疊，使點B恰好落在x軸上的點B′處.

求：（1） 點B′的坐標：________.

（2） 直線AM所對應的函數關系式.

【解析】易得OA=6，OB=8，AB=AB′=10，因此，OB′=4，所以B′（-4，0），要求直線AM的解析式，只需再求出點M的坐標，也就是OM的長度，由題意可知BM=B′M，在Rt△OB′M中，設OM=x，則B′M=BM=8-x，根據勾股定理可列方程42+x2=（8-x）2，解得x=3，所以M（0，3），再由A（6，0）可求得直線AM的解析式為y=-0.5x+3.

例5 （2012·鄂爾多斯）如圖5，將兩張長為4，寬為1的矩形紙條交叉并旋轉，使重疊部分成為一個菱形. 旋轉過程中，當兩張紙條垂直時，菱形周長的最小值是4，求菱形周長的最大值.

【解析】當兩紙條如圖乙重疊時，得到的菱形的周長最大，在Rt△ABC中，設AC=AD=x，則AB=4-x，根據勾股定理可列方程12+（4-x）2=x2，解得x=，所以該菱形周長的最大值為8.5.

例6 （2013·隨州）如圖6，正方形ABCD中，AB=3，點E在邊CD上，且CD=3DE. 將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF. 求CG的長.

【解析】根據條件可以用HL證明△ABG

≌△AFG，得到BG=FG，在Rt△GCE中，設CG=x，則BG=FG=3-x，EF=1，CE=2，根據勾股定理可列方程22+x2=（4-x）2，解得x=1.5，所以CG=1.5. 本題若是要證明點G是BC的中點，難度就會顯著增加了.

【點評】以上幾例都是通過找到一個能聯系已知條件和未知問題的直角三角形，然后利用勾股定理解決問題的實例，希望同學們能夠將這個方法作為算術思維方法的很好補充.

模型二：找到兩個聯系已知和未知的有相等邊或有公共邊的直角三角形，利用a2 1+b2 1=a2 2+b2 2或者c2 1-a2 1=c2 2-a2 2建立方程

例7 如圖7，△ABC是小新家的門口的一塊空地，三邊的長分別是AB

=13米，BC=14米，AC=15米，現準備以每平方米50元的單價請承包商種植草皮，問共需要多少費用？

【解析】求費用，就得求面積，要求面積，就得求高，不妨過點A作AD⊥BC，垂足為D，這樣就得到了兩個有公共直角邊的直角三角形，設BD=x，則CD=14-x，根據勾股定理可列方程132-x2=152-（14-x）2，解得x=5，再根據勾股定理求得AD=12米，這樣種植草皮的費用為0.5×14×12×50=4 200（元）. 同學們可以試一試其他作高的方法.

例8 （2000·海南）鐵路上A、B兩站（視為直線上兩點）相距25 km，C、D為兩村莊（視為兩個點），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B（如圖8），已知DA=15 km，CB=10 km，現在要在鐵路AB上建設一個土特產品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應建在距A站多遠處？

【解析】根據題目要求CE=DE，圖中有兩個斜邊相等的直角三角形，可設AE=x km，則BE=（25-x） km，根據勾股定理可列方程152+x2=102+（25-x）2，解得x=10，所以E站應建在距A站10 km處.

方程思想是初中階段非常重要的數學思想方法，它在小學算術思維基礎上發展和提高，它讓數學思維變得簡單，勾股定理是一個建立方程相等關系的重要途徑，希望同學們能很好地掌握上述方法.

（作者單位：江蘇省寶應縣實驗初級中學）