解析三角關系,關注全等“三角”

以全等三角形的相關定律和運算法則為基礎的幾何運算是中考常見的考點之一，因為中考涉及的幾何知識的面較廣，因而幾何題目不會僅僅只考如何論證兩個三角形全等這么簡單，大多數時候都會以“論證全等”為基礎切入點，以考查線段、角等關系為主要考點，重要的是要同學們掌握好關于論證全等三角形的基本知識和方法技能，需要同學們通過平時的訓練加以總結、概括及提煉.

1. 如圖1，A、D、F、B在同一直線上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC. 求證：△AEF

≌△BCD.

【解析】該題作為判定三角形全等的基礎題型，只需要根據已知條件AD=BF，便可輕松得出AD+DF=BF+DF，從而得出AF=BD，再根據已知條件AE=BC，自然便可以想到需要利用AE∥BC這一已知條件得出∠A=∠B，從而符合全等三角形判定法則中的“邊角邊”，判定出兩個三角形是全等的.

2. 如圖2，AB=DB，∠ABD=∠CBE，請你添加一個適當的條件_____，使△ABC≌△DBE. （只需添加一個即可）

【解析】這是中考題中經常出現的一類試題，可以劃分至“開放性”試題之列，符合新課標中對于教學評價機制的相關要求，那么對于這樣一個可以有多種答案和選擇的題目來說，同學們在做題時只需要遵照全等三角形的基本判定規律進行判定即可. 由題意可知：

∵∠ABD=∠CBE→∠ABC=∠DBE，然后根據準備使用的證明方法“ASA”“SAS”“AAS”，分別寫出第三個條件即可. ∵AB=DB，∴①若用“ASA”，需添加∠BDE=∠BAC；②若用“SAS”，需添加BE=BC；③若用“AAS”，需添加∠ACB=∠DEB.

【點評】對于這類題目，在解析的時候需要采用倒退式的解法，利用兩個三角形全等需要滿足的條件來進行題目答案的推理，這也是求解數學幾何證明題的常用方法.

3. 如圖3，矩形ABCD中，點E是BC上一點，AE=AD，DF⊥AE于F，連接DE，求證：DF=DC.

【解析】該題是對于全等三角形定律的擴展與延伸，題目的要求看似是為了證明兩條沒有太大關聯的線段的相等，實則是為了證明△DEF≌△DEC，而后再得出最后的答案.

仔細分析一下題目，該題中不僅含有矩形的知識，還包含了直角三角形的相關知識及平行線的內容，同學們在解決這一圖形問題時，首先需要掐準解題的方向而后再想辦法進行論證. 許多幾何題目的“已知量”都是蘊藏于圖形之中的，在題目中不會輕易表露出來. 通過觀察，我們發現，在矩形ABCD中，AD∥BC，那么可得出∠ADE=∠DEC，再根據題目中所給的AE=AD這個條件可得出∠ADE=∠AED，得出∠AED=∠DEC，再根據兩個都是直角三角形可輕松得出結論：∠DFE=∠DCE，再得出∠FDE=∠EDC，而線段DE又是兩個三角形的公有線段，這樣便不難得出兩個三角形全等，從而做出最后的論證.

【點評】同學們在解決類似這樣的圖形問題時，需要找出暗藏于矩形中的線段間的關系，而后再進行剖析.

4. 如圖4，梯形ABCD中，AD∥BC，點M是AD的中點，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，則梯形ABCD的周長為（）.

A. 22B. 24C. 26D. 28

【解析】這是數學題目中常見的“數形結合”類題目，需要通過對圖形的分析得出其中蘊藏的數量關系，從題目所給條件和已知圖形來看，需要先從梯形的相關知識點進入，而后再過渡到對于全等三角形的分析.

（1） 先判斷△AMB≌△DMC；從已知條件入手可知，AM=DM（M是AD的中點），由BM=CM得∠MBC=∠MCB，又AD∥BC，則∠AMB=∠MBC=∠MCB=∠CMD，根據“SAS”可判定△AMB≌△DMC.

（2） 求出梯形周長. ∵△AMB≌△DMC，∴AB=CD=6；∵AD=4，BC=8，∴梯形周長為：AD+BC+AB+CD=4+8+6+6=24.

【點評】該題的要點在于通過求證三角形的全等來進行數量關系之間的轉化.

（作者單位：江蘇省寶應縣實驗初級中學）