倍分法的幾種呈現(xiàn)

證明線段的倍分關(guān)系是幾何證明中的一個難點，由于給定的題設(shè)或圖形中往往并不具有明顯的條件，所以我們要根據(jù)已有的知識，認(rèn)真觀察、分析，依據(jù)圖形的特征，巧妙構(gòu)造全等三角形，從而達到迅速解題的目的.現(xiàn)就一例從不同角度構(gòu)造全等三角形來解決問題，供同學(xué)們參考.

如圖1，已知CE、CB分別是△ABC、△ADC的中線，且AB=AC，求證：CD=2CE.

【解析】本題中的題設(shè)與圖形較為簡單，并不具有明顯的證明全等的條件，然而可以抓住“CE、CB分別是△ABC、△ADC的中線”這一條件，從不同角度來添加輔助線巧妙構(gòu)造全等三角形從而證CD=2CE.

證法1：如圖2，延長CE至M，使EM=CE，連接BM. 在△EBM、△EAC中，ME=CE，∠MEB=∠CEA，EB=EA，∴△EBM≌△EAC. ∴BM=AC=AB=BD.

又∵∠CBM=∠CBA+∠ABM=∠BCA+∠A=∠CBD，BC=BC. ∴△BCM≌△CBD. ∴CM=CD，即2CE=CD.

證法2：如圖3，取CD的中點F，連接BF，則BF=AC=AB=EB，BF∥AC. ∴∠CBF=

∠BCA=∠CBE，又CB=CB，∴△CBF≌△CBE. ∴CE=CF，即CD=2CE.

證法3：如圖4，延長BC至F，使CF=BC，連接AF. ∴EC為△BAF的中位線，EC=AF. 在△ACF和△DBC中，AC=AB=BD，∠DBC=∠BAC+∠ACB=∠BAC+∠ABC=∠ACF，BC=CF. ∴△ACF≌△DBC. ∴DC=AF=2EC.

證法4：如圖5，取AC的中點G，連接BG. ∴BG為△ADC的中位線，∴BG=DC，又AE=AB=AC=AG. ∴△ABG≌△ACE.

∴EC=BG=DC. ∴DC=2CE.

【點評】證法1注意了題中三角形中線的條件，作倍長中線構(gòu)造全等三角形證得結(jié)論，這是我們在解決有中線這一條件時，常常采用的倍長中線法；證法2是利用折半的方法，將CD分成兩條相等的線段，去證兩線段與CE相等；證法3～4均利用三角形中位線的方法證得，當(dāng)題中有線段中點的條件時，經(jīng)常設(shè)法作三角形中位線，這也是一條重要的輔助線.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實驗初級中學(xué)）