“特殊平行四邊形”復習指南

一、 常見考點

（一） 矩形

1. 矩形的概念：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

2. 矩形的性質：

（1） 具有平行四邊形的一切性質.

（2） 矩形的四個角都是直角.

（3） 矩形的對角線相等.

（4） 矩形是軸對稱圖形.

3. 矩形的判定：

（1） 定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

（2） 定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形.

（3） 定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形.

4. 矩形的面積：S矩形=長×寬=ab.

（二） 菱形

1. 菱形的概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

2. 菱形的性質：

（1） 具有平行四邊形的一切性質.

（2） 菱形的四條邊相等.

（3） 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

（4） 菱形是軸對稱圖形.

3. 菱形的判定：

（1） 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

（2） 定理1：四邊都相等的四邊形是菱形.

（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

4. 菱形的面積：S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半.

（三） 正方形

1. 正方形的概念：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

2. 正方形的性質：

（1） 具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質.

（2） 正方形的四個角都是直角，四條邊都相等.

（3） 正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角.

（4） 正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸.

（5） 正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形.

（6） 正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等.

3. 正方形的判定：

（1） 判定一個四邊形是正方形的主要依據是定義，途徑有兩種：

先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等；先證它是菱形，再證有一個角是直角.

（2） 判定一個四邊形為正方形的一般順序如下：

先證明它是平行四邊形；再證明它是菱形（或矩形）；最后證明它是矩形（或菱形）.

4. 正方形的面積：設正方形邊長為a，對角線長為b，S正方形=a2=.

二、 典型考題

1. （2013·天津）如圖1，在△ABC中，AC=BC，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點E旋轉180°得△CFE，則四邊形ADCF一定是（）.

A. 矩形B. 菱形

C. 正方形D. 梯形

【考點解剖】本題考查了旋轉的性質，矩形的判定，主要利用了對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形的判定方法.

【解題思路】根據旋轉的性質可得AE=CE，DE=EF，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ADCF是平行四邊形，然后利用等腰三角形三線合一的性質求出∠ADC=90°，再利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形解答.

解：∵△ADE繞點E旋轉180°得△CFE，∴AE=CE，DE=EF，

∴四邊形ADCF是平行四邊形.

∵AC=BC，點D是邊AB的中點，

∴∠ADC=90°，∴#9649;ADCF是矩形.

故選A.

【方法規律】熟練掌握旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關鍵.

2. （2013·江西）如圖2，矩形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，連接DE和BF，分別取DE、BF的中點M、N，連接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，則圖中陰影部分的面積為______.

【答案】2.

【考點解剖】本題考查了陰影部分面積的求法，涉及矩形的中心對稱性、面積割補法、矩形的面積計算公式等知識，解題思路方法多樣，計算并不復雜，若分別計算再相加，則耗時耗力，仔細觀察不難發現陰影部分的面積其實就是原矩形面積的一半（即2），這種“整體思想”事半功倍，所以平時要加強數學思想、方法的學習與積累.

【解題思路】△BCN與△ADM全等，面積也相等，#9649;DFNM與#9649;BEMN的面積也相等，所以陰影部分的面積其實就是原矩形面積的一半.

【方法規律】仔細觀察圖形特點，搞清部分與整體的關系，把不規則的圖形轉化為規則的來計算.

3. （2013·聊城）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足為E，求證：AE=CE.

【考點解剖】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，難度中等.

【解題思路】過點B作BF⊥CE于F，根據同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角邊”證明△BCF和△CDE全等，根據全等三角形對應邊相等可得BF=CE，再證明四邊形AEFB是矩形，根據矩形的對邊相等可得AE=BF，從而得證.

【點評】作輔助線構造出全等三角形與矩形是解題的關鍵.

（作者單位：江蘇省寶應縣實驗初級中學）