用好“三板斧”,巧解梯形題

梯形是一種特殊的四邊形，它是平行四邊形和三角形的“綜合”.我們可利用平移、旋轉等作出輔助線，通過割補、拼接，把梯形的問題轉化為我們已經熟悉或已解決了的三角形和平行四邊形問題，從而用三角形和平行四邊形的有關知識解決梯形問題. 在梯形中添加輔助線的方法有多種，下面就梯形中三種常見輔助線的添加方法舉例說明，希望對同學們有所幫助.

一、 平移腰

具體做法：從梯形的一個頂點，作一腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形. 此法中要關注三角形是由兩腰、上下底的差為邊所組成的.

例1 如圖1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5 cm，BC=8 cm，AB=7 cm，求另一腰CD的取值范圍.

【分析】在很多有關梯形的問題中，都牽涉到它的四條邊之間的關系，那么怎樣來處理這四者之間的關系呢？關鍵是把這四條線段歸結到同一個三角形中去.

【解答】如圖1，過D點作DE∥AB，交BC于E點.

∵AD∥BC，DE∥AB，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴DE=AB=7 cm，BE=AD=5 cm，

CE=BC-BE=8 cm-5 cm=3 cm，

∵在△DEC中，DE-EC

∴4 cm

【練習】如圖2，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，若BC-AD=AB，那么∠B的度數是（）.

A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°

【答案】B.

二、 平移對角線

具體做法：過梯形上底或下底的一個端點作一條對角線的平行線，將梯形割補成與之等積的三角形，并出現上下底的和，利用這些條件解決所給的問題. 此法中要關注三角形是由兩對角線、上下底的和為邊所組成的.

例2 如圖3，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，梯形的高CF為10，求梯形ABCD的面積.

【分析】由于等腰梯形ABCD的對角線AC⊥BD且AC=BD，所以我們可以平移一對角線構造一等腰直角三角形，通過驗證發現梯形的面積與這個三角形的面積相等，因此只需求出三角形的面積即可.

【解答】過點C作CE∥DB交AB的延長線于點E.

∵DC∥AE，∴四邊形CDBE為平行四邊形，

∴DB=CE，DC=BE，

∵梯形ABCD為等腰梯形，

∴AD=BC，AC=BD，∴AC=CE，

∴△ADC≌△CBE，即S△ADC=S△CBE，

∴S梯形ABCD=S△ACE.

∵AC⊥BD，CE∥DB，

∴AC⊥CE，∴△ACE為等腰直角三角形.

∵CF為高，

∴CF也為等腰直角三角形ACE斜邊上的中線.

∵CF=10，∴AE=20，

∴S梯形ABCD=S△ACE==100.

【小結】移動梯形對角線，兩底之和成一線. 本題考查了梯形作輔助線的方法，見對角線互相垂直，則平移對角線，利用平移后形成的直角三角形求解.

【練習】如圖4，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，且AC=5 cm，BD=12 cm，則該梯形中位線的長等于______cm.

【答案】6.5.

三、 作兩高

具體做法：過梯形上底的兩個端點分別作梯形的高，把梯形分成一個矩形和兩個直角三角形.

例3 如圖5，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，則下底BC的長為（）.

A. 8B. 9C. 10D. 11

【分析】首先構造直角三角形，進而根據等腰梯形的性質得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可.

【解答】如圖6，過點A作AF⊥BC于點F，過點D作DE⊥BC于點E.

∵梯形ABCD中，AD∥BC，

AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，

∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，

∴cos60°===，

解得：BF=1.5，

故EC=1.5，

∴BC=1.5+1.5+5=8.

故選A.

【小結】作出梯形兩高線，矩形顯示在眼前. 此題主要考查了等腰梯形的性質以及解直角三角形等知識，根據已知得出BF=EC的長是解題關鍵.

【練習】如圖7，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，BC=BD，AD=AB=4 cm，∠A=120°，求梯形ABCD的面積.

【答案】12+4.

梯形中添加輔助線的方法有很多，常見的還有“延長兩腰交一點，三角形中有平行線”、“ 已知腰上一中點，莫忘作出中位線”等等，同學們在學習的過程中要活學活用，根據題目的特點靈活選擇方法，切不可生搬硬套.

（作者單位：江蘇省寶應縣實驗初級中學）