從山重水復到柳暗花明

【思維導圖】

【名師箴言】

人說幾何很困難，難點就在輔助線； 輔助線，如何添？把握定理和概念.

計算半徑與弦長，弦心距來中間站； 是直徑，成半圓，想成直角徑連弦.

圓上若有一切線，切點圓心半徑連； 切線長度要計算，勾股定理最方便.

要想作個外接圓，各邊作出中垂線； 還要作個內接圓，內角平分線夢圓.

要想證明是切線，半徑垂線仔細辨； 切勿盲目亂添線，方法靈活應多變.

在解題實踐中，同學們常常希望能找到復雜問題的巧妙解法，利用行之有效的數學方法和靈活巧妙的解題技巧獲得復雜數學題的創新解法，也是我們在數學解題中的不懈追求.下面從與圓有關的數學題中，擷取幾例巧解題，希望能拓展同學們的解題思路.

一、 巧用圓的中心對稱性解題

例1 （2013·揚州）如圖1，已知☉O的直徑AB=6，E、F為AB的三等分點，M、N為上兩點，且∠MEB=∠NFB=60°，則EM+FN=______.

【分析】注意到圓是中心對稱圖形，結合題目的條件將線段FN繞O點旋轉180°即可將兩條線段組合為圓的一條弦，接下來就是常規思路，在圓中求一條弦的長度的方法：利用垂徑定理構造直角三角形，再用勾股定理進行計算. 如圖2，作OC⊥MD于點C，易得OC=OE=，∴MD=2MC=2=2=，即EM+FN=.

二、 巧用圓的旋轉不變性解題

例2 如圖3，已知，正△A1B1C1的外接圓O內切于正△ABC，若△ABC的面積是4，則陰影部分的面積是（）.

A. 2

B.

C. 2

D. +π

【分析】旋轉☉O，易知兩陰影部分能組合成一個等邊三角形，其面積為△ABC的四分之一，所以應選B.

三、 巧用平移，化復雜為常規

例3 如圖4，☉P內含于☉O，☉O的弦AB切☉P于點C，且AB∥OP. 若陰影部分的面積為10π，則弦AB的長為______.

【分析】將☉P平移使兩圓的圓心重合，易知此時☉P仍然與AB相切，所得圓環面積等于原陰影部分的面積.設切點為D，連接OD、OA，由πOA2-πOD2=10π，得OA2-OD2=10=AD2，從而AB=2AD=2.

四、 巧用矩形性質

例4 如圖5，四邊形PAOB是扇形OMN的內接矩形，頂點P在上，且不與M、N重合，當P點在上移動時，矩形PAOB的形狀、大小隨之變化，則AB的長度（）.

A. 變大B. 變小

C. 不變D. 不能確定

【分析】連接OP，易知AB=OP，而OP為半徑，在點P移動的過程中保持不變，從而AB長度不變.

五、 巧構等邊三角形

例5 （2012·吉林）如圖6，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半徑OA=6. 將扇形OAB沿過點B的直線折疊. 點O恰好落在弧AB上點D處，折痕交OA于點C，求整個陰影部分的周長和面積.

【分析】陰影部分的周長包括線段AC+CD+DB的長和弧AB的長. 由折疊的性質可知，AC+CD=OA=6，DB=OB=6，故周長可求. 求面積需要連接OD，由折疊與半徑的性質易知△ODB是正三角形，得到∠CBO=30°，進而求出OC的長，陰影部分的面積=S扇形AOB-2S△OBC.

六、 巧用切線性質構造全等三角形

例6 如圖7，點P在雙曲線y=（x>0）上，以P為圓心的☉P與兩坐標軸分別相切于A、B兩點，點E為y軸負半軸上的一點，過點P作PF⊥PE交x軸于點F，若OF-OE=6，則k的值是______.

【分析】連接PA、PB，則四邊形PAOB為正方形，易證△PAF≌△PBE，從而AF=BE. ∴OF-OE=OA+AF-（BE-OB）=OA+OB=6，∴OA=OB=3，∴P（3，3），可得k=3×3=9.

七、 巧構輔助圓

例7 如圖8，OA=OB=OC且∠ACB=30°，則∠AOB的大小是（）.

A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°

【分析】由OA=OB=OC，可作以O為圓心，OA為半徑的圓經過A、B、C，如圖9所示.顯然，該圓經過點B、C，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍即可求出∠AOB的度數.

八、 巧構直角三角形

例8 已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O為AB邊上的一點，以O為圓心，OA長為半徑作圓交AC于D點，過D作☉O的切線交BC于E.

（1） 若O為AB的中點（如圖10），則ED與EC的大小關系為：ED_____EC（填“>”“<”或“=”）

（2） 若OA<3時（如圖11），（1）中的關系是否還成立？為什么？

（3） 當☉O過BC中點時（如圖12），求CE長.

【分析】（1） 根據切線的性質可得∠ODE=90°，則∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10，根據勾股定理的逆定理可證得∠ABC=90°，則∠A+∠C=90°，根據圓的基本性質可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，從而證得結論；

（2） 證法同（1）；

（3） 連接OF，設☉O半徑為r，則OB=6-r，OF=r，BF=4，由勾股定理可得r=. 連接OE，設CE=DE=x，由勾股定理可得OD2+DE2=OE2=OB2+BE2，∴r2+x2=（6-r）2+（8-x）2. 可求得x=3. 巧妙構造直角三角形，連續利用勾股定理是解決本題的關鍵.

（作者單位：江蘇省寶應縣實驗初級中學）