巧用數學思想解題

一、 分類討論思想

例1 如圖1，點A、B在直線MN上，AB=11 cm，☉A、☉B的半徑均為1 cm. ☉A以2 cm/s的速度自左向右運動，與此同時，☉B的半徑也不斷增大，其半徑r（cm）與時間t（s）之間的關系式為r=1+t（t≥0）.

（1） 試寫出點A、B之間的距離d（cm）與時間t（s）之間的函數表達式；

（2） 問點A出發后多少秒兩圓相切？

【分析】（1） 當☉A自左向右運動，且點A在點B的左側時，點A、B之間距離d（cm）與時間t（s）之間的函數表達式為d=11-2t（0≤t≤5.5）；當☉A自左向右運動，且點A運動到點B的右側時，點A、B之間的距離d（cm）與時間t（s）之間的函數表達式為d=2t-11（t>5.5）.

（2） 兩圓相切，既可以外切也可以內切，由題意可以分為四種情況討論：①兩圓第1次外切時，可得11-2t=1+1+t，解得t=3 s；②兩圓第1次內切時，可得11-2t=1+t-1，解得t= s；③兩圓第2次內切時，可得2t-11=1+t-1，解得t=11；④兩圓第2次外切時，可得2t-11=1+1+t，解得t=13. 故點A出發3 s、 s、11 s、13 s后兩圓相切.

【點評】在解決有關動態問題時常常需要考慮用分類討論思想.

二、 方程思想

例2 如圖2，△ABC中，∠B=90°，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，AD=2，AE=1，求CD的長.

【分析】連接OD，則OD⊥AD. 在Rt△AOD中，設EO=OD=x，則AO=1+x，∴由勾股定理得22+x2=（1+x）2，解得：x=1.5，∴AB=1+

1.5+1.5=4. 再設CB=CD=y，則在Rt△ABC中，AC=2+y，∴由勾股定理得42+y2=（2+y）2，解得：y=3，即CD=3.

【點評】在圓中經常設立未知數利用勾股定理或相似三角形性質建立方程來求線段長度.

三、 數形結合思想

例3 如圖3，設C為線段AB的中點，四邊形BCDE是以BC為一邊的正方形，以B為圓心，BD為半徑的圓與AB及其延長線相交于點H及K. 求證：AH·AK=2AC2.

【分析】連接BD. 設BC=x，則AC=x，由正方形BCDE可知BD=x，又BK=BD=BH=x，∴AH=2x-x，AK=2x+x，∴AH·AK=（2x-x）·（2x+x）=4x2-2x2=2x2，即AH·AK=2AC2.

【點評】本題一般采用幾何方法證明，但從代數角度出發，巧妙設出AH、AK與AC的代數式，進而證得結論，更顯數形結合的簡捷. 有時幾何圖形問題采用代數方法反而將問題簡單化.

四、 整體思想

例4 有六個等圓按甲，乙，丙三種形式擺放，使相鄰兩圓相互外切，如圖4所示，它們的連心線分別構成正六邊形，平行四邊形和正三角形，將圓心連線外側的6個扇形（陰影部分）的面積之和依次記為S，P，Q，則（）.

A. S>P>QB. S>Q>P

C. S>P=QD. S=P=Q

【分析】正六邊形的內角和為720°，所以內側6個扇形的面積之和是2個等圓的面積；平行四邊形的內角和為360°，所以內側6個扇形的面積之和也是2個等圓的面積；正三角形的內角和為180°，所以內側6個扇形的面積之和也是2個等圓的面積. 都是6個等圓減去2個等圓的面積，故選D.

【點評】要想比較各個圖形中陰影部分的面積，若逐一計算，顯然很麻煩，但考慮將幾個扇形的圓心角合為一個整體，則可以利用多邊形的內角和定理分別求得幾個圓心角之和，從而可以通過扇形面積公式整體求解. 這樣利用整體思想，可使問題化繁為簡，化難為易.

五、 轉化思想

例5 如圖5，梯形ABCD是☉O的內接四邊形，AB∥CD，CD為直徑，∠ACB=30°，若☉O的半徑為r，求圖中陰影部分的面積.

【解析】連接AO、BO，過C作CE⊥AB于E，過O作OF⊥AB于F. ∵AB∥CD，∴CE=OF. ∵S△AOB=AB·OF，S△ACB=AB·CE，∴S△AOB=S△ACB，∴S陰影=S扇形AOB. ∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°，∴S陰影=S扇形AOB=πr2.

【點評】該圖的陰影部分是不規則圖形，計算面積不容易，但根據兩個同底等高的三角形面積相等，這樣將不規則圖形面積轉化為規則的扇形面積來求. 在圓中通常應用把未知問題轉化為已知問題這樣的轉化思想.

六、 對稱思想

例6 如圖9，☉O的直徑為10，弦AB=8，P為弦AB上一動點，求OP的取值范圍.

【解析】過O作OC⊥AB于C，∴AC=BC，OC2=OA2-AC2. 又∵OA=5，AB=8，∴由OC2=OA2-AC2可得OC=3，∴OP的取值范圍為OC≤OP≤OA，即3≤OP≤5.

【點評】由于點P是AB上一動點，由圓的對稱性可知OP的長從A到B是由長變短，然后又變長，且以過圓心垂直于AB的直線為對稱軸. 正因為圓具有旋轉不變性，所以圓是特殊的中心對稱圖形，也是軸對稱圖形. 對稱的數學思想在圓這一章中有充分的體現.

（作者單位：江蘇省寶應縣實驗初級中學）