用他山之石鋪就正確道路

在解決與圓有關的問題時，有些同學常因概念模糊、考慮問題不周、計算馬虎等原因導致錯誤.現將圓中出現的常見易錯題整理如下，供同學們參考.

一、 概念模糊致錯

例1 有下列命題：①長度相等的兩條弧是等弧；②若兩弦相等，則它們所對的弧相等；③圓周角的度數等于圓心角度數的一半；④ 90°的圓周角所對的弦是直徑. 其中正確的是______（填序號）.

【錯解】填①②③④.

【辨析】命題①是對等弧的概念認識模糊，能夠完全重合的弧才是等弧，這里的“等”是全等之意. 具體說來，只有度數相等、長度也相等的弧才是等弧. 命題②忽略兩點：一是前提條件為同圓或等圓中，二是一條弦所對的弧有兩條.命題③忽略了兩者關系的前提條件是它們所對的弧是同弧或等弧.命題④正確.因此正確答案應填④.

例2 將量角器按如圖1所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上. 點A、B的讀數分別為86°、30°，則∠ACB的大小為_______.

【錯解】填56°.

【辨析】點A、B的讀數分別為86°、30°，這表明的度數為86°-30°=56°，弧的度數與它所對的圓心角的度數相等，而∠ACB是所對的圓周角，∴∠ACB=×56°=28°.

二、 與圓有關的位置關系中的易錯點

例3 設Q為直徑AB上一點，過Q作PQ⊥AB，交半徑為R的半圓于P，且PQ=R，則AQ=_______.

【錯解】填R.

【辨析】本題的錯解原因是對點Q的位置情況考慮不全，如圖2和圖3所示的兩種情況下AQ長度是不一樣的，因此正確答案為：AQ=R或R.

例4 在半徑為1的☉O中，弦AB、AC分別是和，則∠BAC=______.

【錯解】填15°.

【辨析】錯誤原因是沒有注意到圓的對稱性，AB與AC的位置有兩種情況（如圖4所示）：

①當AB和AC在圓心的同側時，∠BAC=15°；

②當AB和AC在圓心的異側時，∠BAC=75°.

綜上所述，∠BAC=15°或75°.

例5 若☉O所在平面內一點P到☉O上的點最大距離為a，最小距離為b（a>b），則此圓的半徑為______.

【錯解】填.

【辨析】錯誤的原因是沒有考慮點P位置的兩種可能：①點P在圓上或圓外時，r=；②點P在圓內時，r=. 因此正確答案為r=.

例6 ☉O的半徑為5 cm，弦AB∥CD，AB=6 cm. CD=8 cm，則AB與CD的距離為______.

【錯解】填7 cm.

【辨析】錯誤原因是對位置關系考慮不全面，要同時考慮弦AB、CD在圓心O兩旁或同旁的情形. 如圖5，當AB、CD在圓心O兩旁時，距離=4+3=7（cm）； 如圖6，當AB、CD在圓心O同旁時，距離=4-3=1（cm）. ∴正確答案是7 cm或1 cm，否則會漏解.

例7 如圖7，☉O的半徑為7 cm，直線l⊥OA，垂足為B，OB=4 cm，則直線l沿直線OA平移______時與☉O相切.

【錯解】填3 cm.

【辨析】延長AO交圓O于C，根據直線與圓相切的性質得出當直線l平移到過A點或過C點時，直線l與圓相切，求出BC和AB的值即可. 正確答案是3 cm或11 cm.

例8 如圖8，☉O的半徑為5 cm，點P是☉O內一點，OP=2 cm. ☉P與☉O內切，則☉P的半徑r是多少？

【錯解】∵兩圓內切，∴d=R-r，即2=5-r，∴r=3 cm.

【辨析】注意到兩圓的半徑大小關系不確定，因此圓心距與兩圓的半徑關系應為d=R-r，即2=5-r，解之得r=3 cm或r=7 cm.

三、 與圓有關的計算中的易錯點

例9 如圖9，一個圓作滾動運動，它從A位置開始，滾過與它相同的其他六個圓的上部，到達B位置. 則該圓共滾過_______圈.

【錯解】填.

【辨析】該圓從A位置到達B位置共滾過了六段弧長，其中有兩段是半徑為2r，圓心角為120度的弧長，四段是半徑為2r，圓心角為60度的弧長，所以可求得. 錯解中將小圓滾動路徑的圓弧半徑當成了r導致錯誤. 實際上，這個問題中我們可以將該圓看成一個質點，而圓心可以看成這個質點，此時再看其滾動過的路徑就知道都是半徑為2r的圓弧.

【正解】弧長==，小圓的周長=2πr，

所以該圓共滾過了÷2πr=（圈）.故答案為：圈.

（作者單位：江蘇省寶應縣實驗初級中學）