拓展習題 提升能力

圓的相關知識點較多，是中考中的必考內容，所占分值較大. 圓中有較多的隱含條件，所給圖形往往不夠完整，通常需要從條件與圖形整體考慮，運用不同的數學知識與方法分析，反而可以找到多種解題途徑與方法. 另外一題多解是對習題的多角度“追蹤”，能使我們思維靈活、解題思路開闊，能“以少勝多”地鞏固基礎知識，掌握基本的解題方法和技巧，能增強應變能力，提高靈活運用數學知識與方法解決問題的能力. 下面就一道課本習題進行變式后的不同解法進行分析、探討，供同學們借鑒.

【習題】如圖，已知A、B、C、D在☉O上，∠ADC=∠BDC=60°. 判斷△ABC的形狀，并說明理由.

【解析】∵∠ABC=∠ADC=60°，∠BAC=∠BDC=60°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形.

【變式練習】上述條件不變，若AB與CD交于Q，且AD=6，=，求DB的長.

【解析】一般來說，求線段的長度往往利用相似三角形的性質得成比例線段或利用勾股定理建立方程求得. 因而對照題中條件與圖形可構造相似三角形.

解法1：設AQ=3x，BQ=5x，如圖1. 由原題可知BC=AB=8x.

∵∠ADC=∠BDC，∠DAQ=∠BCD，∴△AQD∽△CBD. ∴=，即=，得DC=16，又∠BCQ=∠DCB，∠QBC=∠BDC=60°，∴△BCQ∽△DCB. ∴=，即=，得DB=10.

解法2：設AQ=3x，BQ=5x（如圖1）. 由原題可知BC=AB=8x. ∵∠ABC=∠ADQ，∠AQD=∠CQB，∴△AQD∽△CQB. ∴=，即=，得DQ=，又∠ADC=∠BDC，∠DAQ=∠BCD，∴△AQD∽△CBD. ∴=，即=，得DB=10.

解法3：設AQ=3x，BQ=5x（如圖1）. 由原題可知BC=AB=AC=8x. ∵∠ABC=∠ADQ，∠AQD=∠CQB，∴△AQD∽△CQB. ∴=，即=，得CQ=4x2，又∠BDQ=∠CAQ，∠BQD=∠AQC，∴△DBQ∽△ACQ. ∴=，即=，得DB=10.

【點評】上面的這三種方法是根據題中的=，尋找題中的相似三角形，構造兩次相似，利用線段的比值來求解.

解法4：作AM⊥DC于點M，BN⊥DC于點N，如圖2.∵∠AMQ=∠BNQ=90°，∠AQD=∠CQB，∴△AMQ∽△BNQ. ∴==. 又∵∠ADQ=∠BDC，∠AMD=∠BND=90°，∴△ADM∽△BDN. ∴==. 而AD=6，∴DB=10.

【點評】這種解法雖沒有設未知數，但通過作高，運用相似三角形性質巧妙使用條件=. 從此解法中我們看到運用相似三角形轉換線段比值可使過程簡化.

解法5：過點B作BG∥DA交DC于點G， 如圖3，∴∠BGD=∠ADC=60°. ∵∠ADC=∠BDC=60°，∴∠BGD=∠BDC=60°，BD=BG. 又∵BG∥DA，∴△ADQ∽△BGQ. ∴=，∴=，∴BG=10，即DB=10.

【點評】此種解法通過添加平行線構造特殊三角形，將未知線段與已知線段等量代換，同樣充分運用條件=及相似三角形性質求出DB長.

解法6：作QE⊥AD于點E，QF⊥DB于點F，如圖4. ∵∠BDC=∠ADC=60°，∴QE=QF. ∴==.

又∵=，∴=，即=，∴DB=10.

【點評】此種解法運用了等面積來建立比例式求解，巧妙結合=，過程簡潔，解題迅速.

一般來說，求圓中線段的長度常用的方法有三種：利用平行線的性質、利用相似三角形的性質、利用中間量進行等量代換. 圓中含有許多隱含條件，可根據已知條件從不同角度用不同方法構造輔助線，再綜合分析求解. 因此，要想提高解題能力與學習效率，同學們應該有意識地進行一題多解練習，善于挖掘圓中的條件，多角度思考、分析、研究，有助于總結知識、發現方法，有助于尋找到最佳解題途徑與方法，養成創造性思維.

（作者單位：江蘇省寶應縣實驗初級中學）