矩陣的初等變換課堂教學(xué)設(shè)計(jì)探討

摘要：矩陣初等變換是求矩陣的秩，求向量組的極大無(wú)關(guān)組，解線性方程組，求多項(xiàng)式的最大公因式等的關(guān)鍵，而學(xué)生往往掌握的不好。從中學(xué)所學(xué)消元法解方程組對(duì)比講解矩陣的初等變換，能由淺入深的引導(dǎo)學(xué)生正確掌握這一知識(shí)。

關(guān)鍵詞：線性方程組 消元法 初等變換

0 引言

線性代數(shù)是經(jīng)管類的一門核心基礎(chǔ)課程，但因其概念較多，相似度高，易混淆，計(jì)算量大等原因，導(dǎo)致學(xué)生望而生畏，尤其是矩陣初等變換是解決很多線代問(wèn)題的關(guān)鍵。那么如何教好這一課，如何從學(xué)生角度出發(fā)，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，努力把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。下面就是對(duì)矩陣初等變換這一節(jié)課所做的教學(xué)設(shè)計(jì)。

1 從實(shí)際問(wèn)題引入線性方程組，從方程組消元引入初等行變換

問(wèn)題：某人有40萬(wàn)元，投資了A、B兩個(gè)項(xiàng)目，已知A項(xiàng)目獲利10%，B項(xiàng)目獲利12%，一共獲利了4.6萬(wàn)，問(wèn)最初他在A、B兩個(gè)項(xiàng)目上各投入了多少錢？

解：列方程組：0.1x1+0.12x2=4.6x1+x2=40對(duì)應(yīng)矩陣0.1 0.12 4.6 1 1 40

消元法對(duì)應(yīng)初等行變換

①交換兩個(gè)方程

x1+x2=400.1x1+0.12x2=4.6對(duì)應(yīng)矩陣 1 1 400.1 0.12 4.6

②第二個(gè)方程擴(kuò)大100倍

x1+x2=4010x1+12x2=460對(duì)應(yīng)矩陣 1 1 4010 12 460

③第一個(gè)方程乘以-10加到第二個(gè)方程

x1+x2=402x2=60對(duì)應(yīng)矩陣1 1 400 2 60

④第二個(gè)方程除以2

x1+x2=40x2=30對(duì)應(yīng)矩陣1 1 400 1 30

⑤第二個(gè)方程乘以-1加到第一個(gè)方程

x1=10x2=30對(duì)應(yīng)矩陣1 0 100 1 30

從上述解題過(guò)程可以看出，用消元法求解線性方程組的具體作法就是對(duì)方程組反復(fù)實(shí)施以下三種變換：

①交換某兩個(gè)方程的位置；

②用一個(gè)非零數(shù)乘某一個(gè)方程的兩邊；

③將一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上去。

而對(duì)應(yīng)的矩陣也做了類似的變換，由此我們得到矩陣的初等行變換定義

定義1 矩陣的下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：

①交換矩陣的兩行（交換i，j兩行，記作ri？圮rj）；

②以一個(gè)非零的數(shù)k乘矩陣的某一行（第i行乘數(shù)k，記作ri×k）；

③把矩陣的某一行的k倍加到另一行（第j行乘k加到i行，記為ri+krj）。

把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義（相應(yīng)記號(hào)中把r換成c）。

初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。

定義2 對(duì)任何一個(gè)矩陣，總可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行階梯形和行最簡(jiǎn)形。

行階梯形的特點(diǎn)是：

①如果存在元素全為0的行，則全為0的行都集中在矩陣的下方；

②每行左起第一個(gè)非零元素的下方元素全為0。

形象地說(shuō)，可以在該矩陣中畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為0，每個(gè)階梯只有一行，階梯數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯豎線后即為每行左起第一個(gè)非零元素。

行最簡(jiǎn)形的特點(diǎn)是：在滿足行階梯形的條件下，非零行首個(gè)非零元為1，且這些首行非零元所在列的其它元素全為0。

注：把矩陣變成行階梯進(jìn)而變成行最簡(jiǎn)，是利用初等行變換解決其它線性代數(shù)問(wèn)題的基本方法。

2 初等變換解線性方程組舉例（對(duì)初等變換進(jìn)行練習(xí)）

例1求解線性方程組x-y=1，2x+3y=8。

這個(gè)例子中有無(wú)窮多解。

從上面三個(gè)例子我們可以看出，第一個(gè)例子中只有一個(gè)解，第二個(gè)例子中出現(xiàn)了矛盾方程，第三個(gè)例子中出現(xiàn)了假方程，需要去偽存真。

3 總結(jié)

可以看出，矩陣的初等變換等知識(shí)來(lái)源于中學(xué)，又高于中學(xué)所學(xué)知識(shí)。在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，線性方程組求解是貫穿整本書(shū)的主線，而矩陣的初等變換是線性代數(shù)討論其它問(wèn)題的主要方法，所以這節(jié)課尤為重要。一定要學(xué)生多練習(xí)，多掌握。

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