利用矩陣的奇異值分解對物體進行形狀復原

摘要：奇異值分解法（singular value decomposition）是一種矩陣的分解方法，圖像矩陣的奇異值（Singular Value）及其特征空間反映了圖像中的不同成分和特征。奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD） 是一種基于特征向量的矩陣變換方法。本文利用該方法利用某物體的數枚數字圖像獲得該物體的形狀信息，也就是利用數字圖像的灰度值來獲得物體的法線向量矩陣。而且，利用具體的實驗驗證了該方法的可靠性。

關鍵詞：奇異值分解 形狀復原 法線向量矩陣

圖像處理的內容十分廣泛，具體而言，可以分為：圖像獲取、圖像增強、圖像復原、圖像壓縮、圖像分割等。這些內容都是基于矩陣的處理得到的。圖像處理領域中，物體的形狀復原技術應用也十分廣泛。在模式識別、三維技術、物體識別等方面都有十分廣泛的應用。采用經驗的照度差的方法固然可以獲得物體形狀復原的信息，但是往往需要一個和物體本身反射率以及物質特征一致的參照球才能解決問題。但也有一些不利用參照物，直接從物體本身就能進行形狀復原的辦法。這些方法都需要在形狀復原的時候使用多個光源來完成。本文探討奇異值分解法來解決形狀復原的問題。

1 奇異值分解

數字圖像處理當中：一幅圖像可以表示成為一個二維函數，也就是空間笛卡爾坐標，坐標的值稱為該點圖像的灰度。模擬圖像是不方便用計算機處理，利用取樣和量化把模擬圖像轉換為數字圖像是比較可取的方法。這樣數字圖像的結果是一個實際的矩陣。

我們具體在做形狀復原的時候，往往只需要獲得物體表面的法線向量矩陣，也就是數字圖像中每個像素點對應的向量x，y，z就可以得到物體的形狀信息。

2 使用偏光鏡分離鏡面反射成分

數字圖像實際是光的一種數字表現，眾所周知，光是一種電磁波，分為橫和縱兩個方向。偏光鏡片的性質之一就是只允許一個方向的光通過透鏡傳送。從觀測角度看的話，如果相機鏡頭前安裝了偏光鏡，隨著偏光鏡片的旋轉，觀測值也就是攝影得到的數字圖像的值也會有相應的變化。我們在做數字圖像處理的時候，往往鏡面反射強烈的地方不利于物體的觀測和形狀復原。

實際上得到的數字圖像的灰度值如公式（2）所示，它分為擴散反射成分Idif和鏡面反射成分Isc和Isv。其中，f（θ）是一個系數，θ是偏光鏡片旋轉的角度。可見，旋轉角度θ變化，函數f（θ）也發生變化，從而引起f（θ）和擴散反射成分Isv的乘積也發生變化。

如果，把Idif和Isc表示成I′的話，公式（2）可以簡單地表示成：

這樣的形式的話，也就是說，如果把Is看做I′和Isv是一個相對應n列的矩陣。A是1和f（θ），是一個相對應n行的矩陣。利用公式（4）可以把其中一部分鏡面反射成分Isv從矩陣中分離出來。

在具體做實驗的時候，固定一個光源下拍攝到的數字圖像往往無法避免鏡面反射的問題，特別對于一些鏡面反射特性很強的物體來說尤為如此。這就需要利用奇異值分解法分解出鏡面反射成分，具體一副圖像無法完成矩陣的構成，我們需要每隔一定角度旋轉偏光鏡片拍攝照片，從而得到數枚圖像構成的矩陣來提供分解。

3 數字圖像的奇異值分解

一副數字圖像一共有n個點，其中我們一共有m張圖像，也就是可以組成一個（n×m）灰度值矩陣I。I可以表示成（n×n）的反射率矩陣R，（n×3）的法線向量矩陣N，（3×m）的光源方向矩陣S，和（m×m）的光源照度矩陣L。如公式（5）所示。

其中，∑可以通過最小二乘法解出來。實際在圖像分解的時候，因為光源的不確定性，利用具體光源方向可以判斷出具體的向量矩陣。

這里，從不同光源角度觀測的圖像都會由前一章的奇異值分解法分解出鏡面反射成分，去除鏡面反射成分的灰度圖像可以被利用在本部分的奇異值分解法當中。這時候也需要多個光源角度下拍攝數組圖片，從而得到豐富的矩陣數據來提供分解。

4 實驗結果

為了獲得大量的實驗數據，具體分別使用16個方向的光源。也就是在16個不同角度的光源下，分別拍攝16組數字圖像。每組圖像都采用偏光鏡拍攝，其中一組圖像一共有16張，每張對應偏光鏡片的一個角度，也就是從0到360度，偏光鏡片每旋轉15度拍攝一組圖像。每組采用偏光鏡拍攝的圖像16枚，這16枚圖像可以利用第二章的奇異值分解法將鏡面反射成分從數字灰度圖像中分解出來。也就是說1組光源一共得到1枚沒有鏡面反射的圖像。將利用奇異值分解法分解的16組光源一共16枚沒有鏡面反射的數字圖像，利用第三章的奇異值分解公式，把物體表面向量分別出來，從而獲得形狀復原的結果。如圖2和3所示。圖1是目標物體原圖之一。圖2是物體x和y方向的向量，圖3是z方向的向量。

在這里，其實有些地方有光澤的鏡面反射成分并沒有完全去除，這是因為Isc這一部分的鏡面反射成分還可以透過偏光鏡片過濾。從而導致奇異值分解法也無法去除這部分數據，也給之后的計算帶來了一些誤差。

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