幾何綜合法與向量坐標(biāo)法的使用調(diào)查分析

《課標(biāo)》要求學(xué)生“能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量法在研究幾何問題中的作用”.“在教學(xué)中，可以鼓勵學(xué)生靈活選擇運用向量法與綜合法，從不同角度解決立體幾何問題”[1].其意圖表明向量是一種數(shù)學(xué)工具，具有廣泛的應(yīng)用，同時也為研究立體幾何提供了新的視角.實際上，數(shù)學(xué)教師普遍反映現(xiàn)在的高中學(xué)生空間想象能力和邏輯推理能力趨下降，大多數(shù)學(xué)生在處理立體幾何問題時，離開了向量坐標(biāo)法舉步維艱.產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是什么呢？值得反省.

1 調(diào)查統(tǒng)計

筆者從浙江省臺州市三所普通高中的1790名高三理科學(xué)生中，隨機選取10個班，每5個班為一組，分別為甲組、乙組，甲組做題1，乙組做題2，每組測試時間均為12分鐘.

題1 如圖1，平面PAC⊥平面ABC，ABCΔ是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，16AC =，10PAPC==.問：在ABOΔ內(nèi)是否存在一點M，使PM⊥平面BOE，若存在，并求點M到OA，OB的距離.

2 提出問題

由表1知，題1，題2分別有89%和81%的學(xué)生選用坐標(biāo)法處理.題2使用坐標(biāo)法滿分率僅為14%，卻仍有大多數(shù)的學(xué)生堅持使用坐標(biāo)法，不會或不愿用幾何綜合法.這表明多數(shù)學(xué)生在處理立體幾何有關(guān)問題時，習(xí)慣用坐標(biāo)法進行解決.學(xué)生為什么這樣“喜歡”坐標(biāo)法，而綜合法卻遭受到如此排擠？立體幾何真的要讓綜合法“退出”嗎？這是中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革要走的路嗎？這些問題值得探究.

3 探究解法

3.1 幾何綜合法

對于題1，欲直接在ABOΔ內(nèi)找一點M，使FM⊥平面BOE，會遇到兩個較難處理的問題，一個是M點在哪里？另一個是平面/ /FG內(nèi)與FM垂直的兩條直線在哪里？好多學(xué)生感到束手無策，解題思路難以捉摸.從表1知，此題選用綜合法的人數(shù)僅5%.與使用綜合法學(xué)生座談時，問：此題你為什么要用綜合法處理？ 有92%的學(xué)生回答：平時做立體幾何題我喜歡用綜合法，綜合法解題有味道.表明對學(xué)習(xí)幾何感興趣的學(xué)生還是喜歡幾何綜合法，可惜這樣的學(xué)生人數(shù)過少.此題關(guān)鍵是將條件“平面PAC⊥平面ABC”轉(zhuǎn)化為“平面BOE⊥平面PAC”，其中“OBAC⊥”是聯(lián)接兩者的媒介.從答題情況來看，學(xué)生除了心理上信奉坐標(biāo)法外，暴露出學(xué)生缺乏對條件“PBAC⊥”的深入思考，以及對平面與平面垂直判定定理和性質(zhì)定理理解上的缺陷，致使解題失敗.

對于題2，設(shè)PC，BC的中點分別為E，F(xiàn)，則平面OEF與平面PAB平行，線段EF就是所求的H點軌跡.再通過對圖形的觀察分析，因為PO⊥平面，ACAF>，所以PH與平面ABC所成角中最大角為PFO∠，最小角為PCO∠.這樣不難求得結(jié)果.由表1知，此題僅有15%的人選用綜合法，與使用綜合法個別學(xué)生生座談時，問：綜合法是你解決此題的首選方法嗎？ 78%的學(xué)生回答：在用坐標(biāo)法處理時，發(fā)現(xiàn)解題有困難后才改用綜合法.表明大多數(shù)學(xué)生在處理立體幾何問題時習(xí)慣使用坐標(biāo)法，綜合法被人所忽視.

3.2 向量坐標(biāo)法

4 探究原因

4.1知識因素

應(yīng)用向量坐標(biāo)法定量地處理空間圖形的位置關(guān)系與度量問題，一般的操作步驟是：第一步，建立空間直角坐標(biāo)系；第二步，計算相關(guān)點坐標(biāo)及各線段對應(yīng)向量；第三步，通過解方程求相應(yīng)平面的法向量；第四步，根據(jù)向量數(shù)量積的公式列式并計算.坐標(biāo)法雖然運算要求較高，但解題過程具有程式化，這種程序性知識經(jīng)過一定習(xí)題強化訓(xùn)練，學(xué)生在解決有關(guān)直線、平面所成夾角和長度等問題時，可以達到應(yīng)付自如.正如文[2]“這是一系列近乎程序化的過程，只要有了基礎(chǔ)的知識，代入公式就行”.這也是坐標(biāo)法被大多數(shù)教師和學(xué)生所重視、所吸引的主要原因之一.

綜合法是利用已知條件及定理、性質(zhì)、法則等已知事實，將問題的初始狀態(tài)逐步轉(zhuǎn)化到目標(biāo)狀態(tài).立體幾何問題離不開幾何直觀圖，現(xiàn)實題目中，其立體圖形常是以多面體或不太規(guī)則的直觀圖形式出現(xiàn)，與定理中的“圖形”兩者間存在一定的差異，有時甚至相距甚遠.需要解題者根據(jù)題意，通過對圖形的觀察、比較、分析、綜合、想象、判斷、改造、轉(zhuǎn)換等思考活動.將復(fù)雜的圖形分解出基本的圖形，有時根據(jù)需要作進一步整體化處理，把不規(guī)則的圖形“修理”為規(guī)則圖形，把不規(guī)則的位置“調(diào)整”為規(guī)則位置，把“隱藏”的幾何特征“顯露”在明處.然后找出滿足定理的幾何模型，再通過這些定理、性質(zhì)實現(xiàn)相互間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)換.因此，綜合法解立體幾何問題，不僅需要智慧技能（簡單操作技能和復(fù)雜操作技能），更需要認知策略（包括策略性知識和元認知）.相對坐標(biāo)法來說，綜合法思維靈活性大，思維含量也高，學(xué)生不易掌握和運用.

4.2 教材因素

題1、題2都涉及到直線、平面的平行和垂直有關(guān)問題，“平行”和“垂直”是直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系中最重要的位置關(guān)系.教科書必修2 中2.2和2.3分別安排了3課時[3]， 尤其2.3涉及到4個重要幾何概念，4個重要定理.盡管對兩個判定定理只要求通過直觀感知、操作確認方式來獲得結(jié)論，在此不需要證明，其證明放在選修2-1使用向量法來完成[4].3課時的教學(xué)還是很緊張的，教學(xué)過程中勢必會出現(xiàn)本該需要學(xué)生動手操作實驗的重要環(huán)節(jié)處于走過場或干脆被取消，教材中觀察、思考、探究等欄目成為一種“擺設(shè)”，學(xué)生應(yīng)該訓(xùn)練的練習(xí)題因時間倉促被削減.結(jié)果造成學(xué)生對定義、定理、性質(zhì)的理解僅停留于表面的、淺顯的，所獲的知識也屬于低認知水平的知識.而綜合法解題的主要依據(jù)和思維的動力源就是這些定理和性質(zhì)，致使綜合法成為無米之炊.這樣勢必造成學(xué)生應(yīng)用綜合法解立體幾何問題能力的缺陷，對用綜合法處理稍難的幾何題會感到束手無策，對綜合法的使用產(chǎn)生畏難心理，采取躲避的方法而選用其它方法給予解決.

選修2-1的第三章 空間向量與立體幾何[4]，這章中的所有例題的處理方法是，教材先介紹向量法和坐標(biāo)法，然后在例3探究欄目中提出：不建立坐標(biāo)系，如何解決問題？在例4的思考欄目中提出：用綜合法怎樣解例4，試比較綜合法與例4中的方法.在本章最后一節(jié)3.2的小結(jié)中指出：“解決立體幾何中問題，介紹了三種方法：綜合法、向量法、坐標(biāo)法，如本節(jié)的例3對于具體的問題，應(yīng)根據(jù)它的具體條件和特點選擇合適的方法”.人教版的教材編寫意圖是把綜合法和坐標(biāo)法以同等的要求相待，讓學(xué)生自己去行使選擇的權(quán)利.在習(xí)題配備上，如習(xí)題3.2共有15道題目，每題至少可用兩種方法進行處理，僅有一道是明顯用坐標(biāo)法做，其余的題目根據(jù)學(xué)生個人的實際知識水平和能力均可靈活選用.由于這些習(xí)題安排在坐標(biāo)法學(xué)習(xí)之后，當(dāng)時學(xué)生所學(xué)的綜合法又沒有及時得到深化和落實，時間相隔近一年之久，再加上部分教師對新課標(biāo)下立體幾何的教學(xué)要求產(chǎn)生誤解，低估了綜合法的教育價值，過度降低了綜合法的要求.本章的內(nèi)容又是向量法與坐標(biāo)法唱主角，坐標(biāo)法顯然具有得天獨厚的有利條件，這樣坐標(biāo)法進一步得到了鞏固和加強.相反，綜合法遭到冷落慢待，再優(yōu)美的方法，若不經(jīng)常使用也會漸漸枯竭.

4.3 高考因素

縱觀浙江普通高中實施新課程改革下五年高考立體幾何解答題，在設(shè)置試題時，對建立坐標(biāo)系的環(huán)境給予了充分考慮，并提供了使用坐標(biāo)法解題的良好背景.因此，用坐標(biāo)法都能比較順便得到解決.在參考解答所提供的解法上，第（2）問既提供了坐標(biāo)法又給出綜合法，而在第（1）問沒有提供綜合法，僅是坐標(biāo)法.從所需要的知識量和能力程度上看，各年的題目用綜合法處理要比坐標(biāo)法要求高，這些都表明命題組的意愿是側(cè)重坐標(biāo)法進行處理.從往年高考閱卷抽樣統(tǒng)計知，坐標(biāo)法平均得分要高于綜合法，這些為中學(xué)教師和學(xué)生發(fā)出信號，高考中用坐標(biāo)法處理立體幾何解答題要比綜合法優(yōu)越.平時喜歡幾何的同學(xué)，用綜合法解題時，有些教師反而說：“高考的題目通過建系都能做得出來，再好不要用綜合法，沒有必要去冒著這樣的風(fēng)險”.這是對有學(xué)習(xí)幾何潛質(zhì)的學(xué)生極大挫傷，壓抑了學(xué)生的個性發(fā)展.盡管坐標(biāo)法需要一定的運算量，且存在因運錯出錯而導(dǎo)致失分的可能，但他們寧愿采用坐標(biāo)法.之所以多數(shù)學(xué)生這么熱衷于坐標(biāo)法，從高考層面來看，坐標(biāo)法有助于應(yīng)試.

根據(jù)當(dāng)前的高考閱卷評分規(guī)則，只要答案是正確的，解題過程又符合答題要求的就給滿分.這無疑給高中立體幾何教學(xué)帶來了不良的導(dǎo)向——只是尋求答案的對和錯，追求分數(shù)的高和低，很少思考背后隱藏的含義.因此立體幾何教學(xué)中，出現(xiàn)過分抬高坐標(biāo)法的地位和作用的現(xiàn)象在所難免.但這種學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)不到高層次的學(xué)習(xí)和思考的技能，培養(yǎng)出來的學(xué)生只會機械模仿照搬，沒有創(chuàng)造力，將來進入社會也很難成為一名優(yōu)秀員工.

5 結(jié)束語

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅讓學(xué)生會解題，還要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識過程中，掌握一般的科學(xué)研究方法，培養(yǎng)思維能力，發(fā)展智力，這是數(shù)學(xué)教學(xué)根本任務(wù).立體幾何的主要任務(wù)，就是通過對空間幾何體點、線、面位置關(guān)系及其度量關(guān)系的研究作為培養(yǎng)途徑，提高學(xué)生空間想象能力和邏輯推證能力.“學(xué)生需要有一定的演繹推理訓(xùn)練，在這方面歐氏幾何迄今似乎仍然是無可替代的載體，過分減弱達不到這樣目標(biāo)”[5].數(shù)學(xué)教育家波利亞也曾說過，一個學(xué)生不了解這個或那個特殊的幾何事實并不要緊，因為在他以后的生活中，也許很少用到這個事實.但是如果他沒有學(xué)會幾何證明，他就沒有學(xué)到證實論據(jù)的最好和最簡單的實例，也錯過了獲得嚴格推理能力的最好鍛煉機會.用綜合法解題更能培養(yǎng)勇于探索的創(chuàng)新精神，更能釋放他們的思維天性.高中立體幾何教學(xué)要倡導(dǎo)真正具有教育價值的教育，這也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革所需要走的路.因此，在當(dāng)前立體幾何教學(xué)中重視幾何直觀，對綜合幾何法進行推理論證的要求有所降低的背景下，我們更要認清教育改革的本質(zhì)，把立體幾何教學(xué)中不該出現(xiàn)而已出現(xiàn)的“單邊倒”現(xiàn)象糾正過來，恢復(fù)綜合法、坐標(biāo)法各自的地位，充分發(fā)揮兩種方法在立體幾何中的積極作用，并把獲取知識的權(quán)力交還給受教育者手中.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）.北京：人民教育出版社，2003，4

[2]陳武生.給過分強調(diào)用向量方法解立體幾何題唱唱反調(diào).數(shù)學(xué)通報，2006（9）：30-32

[3]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 數(shù)學(xué) 必修2（A版） .北京：人民教育出版社，2007

[4]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 數(shù)學(xué) 選修2-1（A版） .北京：人民教育出版社，2007

[5]李文林.數(shù)學(xué)課程改革中的傳統(tǒng)性與時代性.數(shù)學(xué)通報，2008（1）：7