探析初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何問題

隨著修訂后的義務(wù)教育階段課標的全面實施，人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)已深入人心.近幾年來，動點問題頻頻頻出現(xiàn)在各地中考、競賽試卷中.這類試題突出了對學(xué)生基本數(shù)學(xué)素質(zhì)的測試，加強了探究和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)了學(xué)生靈活運用知識解決實際問題能力，對學(xué)生思維能力的提高有較大幫助，解這類題目要“以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解.

動點運動型問題一般就是在三角形、四邊形等一些幾何圖形上或函數(shù)圖象上，設(shè)計一個或幾個動點，并對這些點在運動變化的過程中相伴隨著的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進行研究考察.動點運動型問題常常集幾何、代數(shù)知識于一體，數(shù)形結(jié)合，有較強的綜合性.

解決動點運動型問題需要用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握動點運動與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系.盡管一些試題大多屬于靜態(tài)的知識和方法，然而，這些試題中常常滲透著運動與變化的思想方法，需要用運動與變化的觀點去研究和解決.

動點運動型問題有時把函數(shù)、方程、不等式聯(lián)系起來.當一個問題是求有關(guān)圖形的變量之間關(guān)系時，通常建立函數(shù)模型或不等式模型求解；當求圖形之間的特殊位置關(guān)系和一些特殊的值時，通常建立方程模型去求解.

①點動問題，主要從幾個方面來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果.常見有探究與動點相關(guān)的線與確定的線之間的關(guān)系.如位置關(guān)系（平行或垂直，其中平行、相等有可能融合在平行四邊形、等腰梯形中）、數(shù)量關(guān)系（相等或函數(shù)關(guān)系）和動點相關(guān)的三角形是否為等腰三角形或相似三角形等.

②線動問題，主要以某一條特征線在運動時作為主線，涉及相關(guān)幾何圖形的截取，圖形的確定（特別是平行四邊形的確定），多邊形的割補，面積的變換（特別是結(jié)合平移變換），它主要功能是考查學(xué)生的想象能力、連續(xù)的分段思想、數(shù)學(xué)建模思想.

例1 如圖，ABCΔ是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A，C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PEAB⊥于E，連接PQ交AB于D.

（1）當30BQD∠=°時，求AP的長；

（2）當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由.

考點 動點問題，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì).

分析 （1）由ABCΔ是邊長為6的等邊三角形，可知60ACB∠=°，

再由30BQD∠=°，可知90QCP∠=°，

（2）若點P為線段OB上的一個動點（不與點O，B重合），直線PC與拋物線交于D，E兩點（點D在y軸右側(cè)），連接OD，BD.

①當OPCΔ為等腰三角形時，求點P的坐標；

②求BODΔ面積的最大值，并寫出此時點D的坐標.

考點 二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，解一元二次方程，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值.

分析 （1）首先解方程得出A，B兩點的坐標，從而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可.

（2）如圖1，當點P在線段DA上移動時，是否存在這樣的點M，使CMNΔ為等腰三角形？若存在，請求出M點坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，當點P在線段AB上移動時，設(shè)P點坐標為（2）x，，記DBNΔ的面積為S，請直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S隨x增大而減小時所對應(yīng)的自變量x的取值范圍.

①動中覓靜：這里的“靜”就是問題中的不變量、不變關(guān)系，動中覓靜就是在運動變化中探索問題中的不變性.

②動靜互化：“靜”只是“動”的瞬間，是運動的一種特殊形式，動靜互化就是抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動”與“靜”的關(guān)系.

③以動制動：以動制動就是建立圖形中兩個變量的函數(shù)關(guān)系，通過研究運動函數(shù)，用聯(lián)系發(fā)展的觀點來研究變動元素的關(guān)系.

具體做法是：全面閱讀題目，了解運動的方式與形式，全方位考察運動中的變與不變的量及其位置關(guān)系；應(yīng)用分類討論思想，將在運動過程中導(dǎo)致圖形本質(zhì)發(fā)生變化的各種時刻的圖形分類畫出，變“動”為“靜”；在各類“靜態(tài)圖形”中運用相關(guān)的知識和方法（如方程、相似等）進行探索，尋找各個相關(guān)幾何量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進行求解.

另外，需要強調(diào)的是此類題型一般起點低，第一步往往是一個非常簡單的問題，考生一般都能拿分，但恰恰是這一步問題的解題思想和方法是本題基本的做題思想和方法，是特殊到一般數(shù)學(xué)思想和方法的具體應(yīng)用，所以考生在解決第一步時不僅要準確計算出答案，更重要的是明確此題的方法和思路.

總之，解決動態(tài)幾何問題的關(guān)鍵是要善于運用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住變化中的不變，以不變應(yīng)萬變.