試析轉化思想在高中數學中的運用

摘 要：分別從函數、不等式、幾何、方程、排列組合、概率的方面說明了轉化思想在高中數學中廣泛存在，并闡述了轉換的類別與方法，以及轉化的多樣性、靈活性、重要性，以引導學生在解題中逐步應用轉化思想。

關鍵詞：轉化思想；高中數學；類別；靈活；有效

所謂轉化，就是把待解決或未解決的一些數學問題，通過某種轉化過程歸結到一類已經能解決或者比較容易解決的問題中去，這在高中數學中屢屢可見。以下就從幾個不同的類型分別去說明：

一、在立體幾何中

證明線面垂直，可轉化為證線線垂直，證明線線垂直可轉化為證線面垂直，證明面面垂直可轉化為證線面垂直，求點到平面的距離，線到平面的距離可轉化為求線面距離。

例1.已知：正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分別是棱AB，BC，BB1上的點，且BE=BF=BG求證：BD1⊥平面EFG。

分析：在正方體中易得EF∥AC，而AC⊥BD1，則BD1⊥EF，同理BD1⊥EG，要證BD1⊥EF，BD1⊥EG，可轉化為證BD1⊥AC，BD1⊥AB1。

例2.已知：棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1求：棱B1C1與對角線BD1間的距離。

分析：欲求B1C1與BD1間的距離，要求公垂線段不易，可轉化為B1C1與BD1所在平面平行，然后利用線面之間的距離的求法，可求出B1C1與BD1間的距離。

例3.如圖：已知：正方形ABCD的邊長為4，CG⊥平面ABCD，CG=2，EF分別點AB，AD中點，求點B到平面GEF的距離。

分析：如果直接找點B到平面GEF的距離不好找，連結BD，∵BD∥EF∴可轉化為求BD到平面GEF的距離，問題就簡單化了。

二、在解析幾何中

例1.已知：a+b=3，求■的最小值

分析：∵■=■

∴可轉化為（－5，2）與x+y=3直線上各點連線的最值問題，顯而易見，垂線段最短。

例2.若實數x，y滿足x2+y2=1，求■的最小值。

分析：如果直接找最小值，不容易，可聯想k=■可轉化為（1，2）與圓上的各點連線的斜率的最值問題：顯然，kPA=■。

三、在不等式中

當然，幾何證明題和不等式證明可以利用等價轉化去證明，這樣的例子不勝枚舉。

例1.求證：■+■＞■（a＞b＞0）

分析：當然可以利用分析法，但是可轉化為幾何問題，利用兩邊之和大于第三邊。

例2.a，b，c∈［0，1］，求證：a+b+c－ab－bc－ca－1≤0

分析：可轉化為函數f（a）=（1－b－c）a+b+c－bc－1

∵f（0）=b+c－bc－1=（1－c）（b－1）≤0

f（1）=1－b－c+b+c－bc－1=－bc≤0

又∵a∈［0，1］∴可利用一次函數圖像的關系，命題得證。

四、在函數中

例1.求函數y=■+■（a＞0，b≥0）在（0，1）上的極小值。

分析：當然，可以求導，但抓住x+1－x=1，可化歸為sin2α+cos2α，令x=sin2α，1－x=cos2α，問題就解決了。

即：y=a2csc2α+b2sec2α=a2+b2+a2cot2α+b2tan2α≥（a+b）2

例2.方程：3x+x－3=0與方程：log3x=3-x所有根之和為多少？

分析：此題可把方程轉化為y1=3x，y2=yx3，y3=3-x值相等的問題：

∴3-x2=x1，∴所有根之和為3.

例3.試判斷函數f（x）＝ln（■+x）的單調性.

分析：由題設知:函數的定義域為R，可知f（x）為奇函數，此題可轉化為證f（x）在［0，+∞）上單調性的問題。

五、在排列組合中

例.4個不同的紅球和6個不同的白球放入袋中，現從袋中取出4個球：

1.若取出的紅球的個數不少于白球的個數，則有多少種不同的取法？

2.取出一個紅球記2分，取出一個白球記1分，若取出4個球的總分不低于5分，則有多種不同的取法？

分析：抓住取出4個球，可轉化為（1+x）4（1+x）6=（1+x）10中兩邊x4的系數相等：

C04C46+C14C36+C24C26+C34C16+C44=C410

運用此值等式解決1和2就容易了。

1當然是C24C26+C34C16+C44或C410-C46-C14C36

2當然是C410-C46或C14C36+C24C26+C34C16+C44

六、在概率中

例1.十層樓中的電梯從底層到頂層停不少于三次的概率是多少？停幾次的概率最大？

分析：電梯在每一層的結果只有兩種，“停”或者“不停”，且各層之間相互獨立，所以屬于貝努利型概率。停幾次概率最大問題可以轉化成二項式■+1-■■的展開式中求最大項的問題來解決。

解：二項式■+1-■■的同項為：C r9■■■■=C r9■■，即為停r次的概率，顯然，當r=4或者5時，C r9■■最大，所以停4次或停5次的概率最大。

例2.某地對空導彈的擊中目標的概率是90％，至少以多少枚這樣的導彈同時發射才能擊中目標的概率超過99％？

解：設同時發射n（n∈N*）枚導彈，由題意知：有1枚擊中、有2枚擊中、有3枚擊中、……有n枚擊中都符合要求。正面考慮較困難，因此采用“正難則反”的轉化思想。

由于n枚都擊不中的概率為0.1n，所以至少有一枚擊中的概率為1-0.1n，若使1-0.1n 99%，即0.1n＜0.01■n＞2，所以至少需3枚導彈同時發射才能使擊中目標的概率超過99％。

從以上可以看出：轉化的思想方法是把未知問題轉化為已知問題，把復雜問題轉化為簡單問題，把非常規問題轉化為常規問題，從而使很多問題獲得解決的思想，那么掌握了轉化的思想和以上的種類，轉化思想是否學好了？不！因為轉化具有靈活性、多樣性，對于一個數學問題來說，我們可以說是一個數學系統或數學結構，組成其元素之間的相互依存和相互聯系的形式是可變的，但其形式并非唯一，而是多種多樣，所以用轉化的方法去解決有關數學問題時，就沒有一個統一模式去遵循，在此正需要我們依據問題本身提供的信息，利用所謂的動態思維，去尋求有利于解決此問題的轉化方法。

因此轉化思想是一種重要的數學思想方法，在近幾年高考試題中都出現，我們在教學中必須重視，逐步讓學生掌握這一思想方法。

參考文獻：

［1］熊治周.例談轉化思想在高中數學教學中的運用［J］.中學生數理化：高中版·學研版，2011（2）.

［2］廖啟會.轉化思想在中學數學中的應用［J］.中學教學參考，2011（20）.

（作者單位 廣西壯族自治區岑溪市歸義中學）

編輯 趙飛飛