淺談圓錐曲線中的類比教學

摘 要：新課標新加入推理與證明的知識，有利于教師引導學生進行大膽的猜想和推理，由簡到難，由已知到未知，開闊學生的知識面，培養學生探索問題、研究問題、解決問題的能力。

關鍵詞：圓錐曲線；類比推理；切線

類比推理是合情推理的一種，開普勒說：“我贊成類比勝過其他的一切，它是我最可信賴的，它知道自然的一切奧秘，并且在幾何中它經常是有效的。”可見類比讓我們能知道更多。筆者僅對圓錐曲線教學中遇到的一個知識點粗淺地做一個總結：

引理1：P（x0，y0）與圓x2＋y2＝r2（r＞0）的位置關系：

（1）若x20＋y20＞r2，則點P在圓外；

（2）若x20＋y20=r2，則點P在圓上；

（3）若x20＋y20＜r2，則點P在圓內．

引理2：圓x2＋y2＝r2（r＞0）與直線Ax+By+C=0有公共點的充要條件是：

r2（A2+B2）≥C2

引理3：已知圓O（O為坐標原點）：x2＋y2＝r2（r＞0），設點P（x0，y0）及直線l：x0x+y0y=r2

（1）若（x0，y0）在圓內，則l表示與OP垂直且與圓O相離的直線；

（2）若P（x0，y0）在圓上，則l表示過點P且與圓O相切的直線；

（3）若（x0，y0）在圓外，則l表示與圓相交的直線即表示過點P的圓的兩條切線的切點弦所在直線。

證明：由點到直線的距離公式及引理2易證（1）（2）下證（3）：

設經過P的圓的兩條切線，如圖所示切點分別為P1（x1，y1），P2（x2，y2）則依引理3的（2）知兩條切線方程分別是：

■

x1x+y1y=r2

x2x+y2y=r2

又∵兩條切線都經過P（x0，y0）故有：

x1x0+y1y0=r2

x2x0+y2y0=r2

所以P1（x1，y1），P2（x2，y2）是方程x0x+y0y=r2的解，即P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直線l上。結論（3）成立。

將上述與圓相關的引理類比到橢圓中有：

設橢圓方程為：■+■=1（a＞b＞0），點P（x0，y0）及直線l∶■+■=1

結論一：

橢圓■+■=1與直線Ax+By+C=0有公共點的充要條件是A2a2+B2b2≥C2.

結論二：

（1）若P（x0，y0）在圓內，則l表示與橢圓相離且平行于以P為中點的弦的直線；

（2）若P（x0，y0）在圓上，則l表示過P的橢圓的切線；

（3）若P（x0，y0）在圓外，則l表示過P作橢圓的兩條切線的切點弦所在直線；

下面先給出結論一的證明：

證法一：（判別式法）略

證法二：做伸縮變換，設x’=■xy’=■y將橢圓變換為單位圓：x’2+y’2=1，相應的直線Ax+By+C=0，變換為aAx’+bBy’+C=0，此時再運用引理2可知結論一成立。

結論二的證明：類比圓中的引理的證明，結合伸縮變換易證結論二成立。

同樣我們類比橢圓結論得到雙曲線■-■=1（a＞0，b＞0）的性質：

（1）雙曲線■-■=1（a＞0，b＞0）與直線Ax+By+C=0有公共點的充要條件是A2a2-B2b2≤C2.

（2）若P（x0，y0）在雙曲線■-■=1（a＞0，b＞0）上，則過P的雙曲線的切線方程是■-■=1；

若P（x0，y0）在雙曲線■-■=1（a＞0，b＞0）外，則過P作雙曲線的兩條切線切點為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程是■-■=1.

（作者單位 內蒙古自治區包頭市一機一中）

編輯 趙飛飛