“跳出”方程解方程

摘 要：高中數學的通性通法一直是數學考查的重點，但是通法雖好，有時卻也會不失麻煩，尤其是在解決方程的問題時，由于只會求解最基本的一些方程，對于一些超出能力范圍的方程問題，必須跳出方程的束縛，利用轉化的思想方法來完成。就以高中數學中比較常見的方程問題為例，說明等價轉化在解決方程時的重要性及有效性。

關鍵詞：解方程；等價轉化；數學問題

“就事論事”是解決數學問題時一種很常見的方法，即出題者要求你解決什么問題，我們就從已知條件入手，看看能推出什么有用的結論，從而解決問題；或者是從需要解決的問題著手，逐步尋找解決此問題需要具備的條件，從而一步步尋找該條件成立的條件，直至找到顯然成立的條件，最終解決問題。可是很多的問題如果僅僅“就事論事”，雖然可以解決，但解決起來比較繁瑣，以至于花費了很多的時間和精力，最終卻出錯了。還有一些問題僅僅“就事論事”可能根本解決不了，這就需要我們換個角度看待問題，利用等價轉化的數學思想，轉化為容易解決的問題，從而尋找到解決問題的捷徑。

下面就列舉方程的幾個問題加以說明：

例1.方程log2x-x2=0的解的個數是幾個？

按照我們一般的思路，要考慮方程的解的個數問題，如果是一元二次方程的實根問題，我們可以借助D的取值符號作出判斷，對于其他一些方程的根的問題，最便捷的似乎就是直接求出方程的根，從而就知道根的個數了。但像例1這樣的方程我們根本無從入手直接解。可是我們知道，方程的根的個數對應著函數的零點的個數，也對應著兩個函數圖象交點的個數，這就需要我們換個角度思考，利用轉化的數學思想方法，把求這個方程的根的個數問題轉化為我們熟知的函數y=log2x和y=x2的圖象的交點個數問題。我們只要作出兩個函數的圖象很容易得出兩個函數圖象沒有交點，從而例1的正確結果就是0個。這樣一個從方程角度無法完成的問題，跳出方程的束縛后，原來可以輕松解決。

再如，這樣一個方程問題：例2.若方程x2-ax+1=0在［■，3］上有解，求a的取值范圍。此題看上去就是一個考慮一元二次方程的根的問題，大家應該都很熟悉。但你真正從一元二次方程的角度去分析時，你就會發現它其實非常復雜。方程在［■，3］上有解，包含了以下可能的情形：（1）方程在此區間上有兩個不同的實數根；（2）方程在此區間上有兩個相同的實數根；（3）方程一共有兩個不等的實數根，其中一個在給定區間上，另一個在給定區間外等等。說到底要求出a的范圍，必須先分別求出各種情形下a的取值集合，再求出各個集合的并集，想想就夠煩了。繁瑣的分類討論勢必會浪費大量的時間和精力，也更容易造成運算上的失誤，真可謂是得不償失。可是只要我們換個角度去思考，就會發現原式子很容易變形為a=x+■，［■，3］，這也使我們很自然地想到把方程有解的問題轉化為函數y=a和函數y=x+■，x∈［■，3］的圖象有交點的問題來求解。由于函數y=x+■，x∈［■，3］的值域是［2，■］，函數的圖象是與y軸垂直的一條直線，所以要使兩個函數圖象有交點，a的取值必須是［2，■］，從而也就輕松地解決了這個方程問題。

由此可見，在解決方程問題時，直接求解雖然是一種最常見的方法，也就是所謂的通法，但是當直接求解比較復雜或者壓根沒法解決時，不妨跳出方程的束縛，靈活利用等價轉化的數學思想方法，轉化為與之等價的問題來加以求解，從而做到事半功倍。

（作者單位 浙江省金華市賓虹高級中學）

編輯 李建軍