淺談數學選填題類型與解法策略

摘 要：數學選擇題與填空題在目前考試中所占的比例越來越大，選填題考核的知識內容比較單一，但題量大，知識覆蓋面很廣，因此能比較客觀地反映學生的基本數學能力，故選填題又常稱作“客觀性試題”。為使學生考試能獲取高分，本文把選填題劃分成三類，同時給出了不同類型的選填題的解題策略。

關鍵詞：選填題 分類 解題策略

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）05（a）-0076-01

數學問題千變萬化，但是萬變不離其宗，因為數學問題都是命題者為達到某種檢查目的而編制的，命題思想必然在題型上反映出來。我們在審題的時候，如果能針對問題的類型，提出相應的策略，就是一種很強的數學能力。

按照編制特點與檢查功能，選填題大致可分為下面三種類型。

1 基本技能題

基本技能題主要是檢查學生對數學概念與公式法則的正確理解、簡單運用以及基本推理能力和基本運算能力，基本技能題是考試中選填題的主要類型。下面是一道基本技能題：

給出下面三個命題：

（1）有兩個面平行，其余各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱。

（2）有兩個側面垂直底面的棱柱是直棱柱。

（3）底面是正三角形，且每個側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐。

則其中正確的命題有（ ）。

A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

問題是典型的概念題，正確解答概念題，需要對問題所涉及到的概念有準確的理解。比如命題（1），首先了解“棱柱”的概念，然后將命題中的語句與定義中的語句進行比較，判斷兩者之間是否等價。只有經過嚴謹思考才能判定“其余的各個面都是平行四邊形”與定義中的“其余的各個面都是平行四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”不是等價說法，因為后者還要求所有平行四邊形都順次排成一圈。在命題（2）中“有兩個側面垂直底面”與“側棱垂直底面”的定義并不等價，如果命題改為“兩個相鄰側面垂直底面”才與定義完全等價。在命題（3）中“三個側面都是等腰三角形”與定義中的“頂點在底面的射影是底面中心”也不等價，因為等腰三角形的腰不一定是側棱，故問題應選A。

解答概念題需要嚴密思維，對命題與概念都要逐字逐句反復琢磨，稍有疏忽就會失分。

2 方法題

“方法型”選填題是經命題者有意編制，需要用某種特殊方法完成的題型。這種題型又包含兩種形式，有些命題可以直接用基本方法解答，但難度較大，甚至可能超過規定時間的數倍，若用特殊方法求解則可輕而易舉得到結果。另一種情況是命題無法直接求解，必須考慮特殊方案。在解選填題中常用的方法是：篩選法、檢驗法、特殊值法、數形結合、歸納、換元、轉換命題等。下面選編了一組典型的方法題：

問題1：若，，，，

則之間的大小為（ ）。

A. B.

C. D.

問題2：函數的最小值是_____，最大值是____。

在上述兩個問題中，1可作為“基本技能題”進行求解，但過程比較復雜。針對問題1，根據對數函數性質，可對，與比較大小，但是很費時間。這時用兩個特殊值代入就很簡便，比如令，，易得：，，因此選A。但必須注意：如果四個選擇支中有不確定的答案，絕對不可使用特殊值法。

對于問題2，似乎很難下手，這種情況下，一般都要采取特殊方法。注意到問題3中函數的定義域為4≤≤5，令（≤≤）。換元后，函數變為，由≤≤，可得，。

3 陷阱題

“陷阱題”是命題者精心設計的一種題型。這種題型以選擇題為主，編題時常常在選擇支中設置一些似是而非的答案，如果基本功不扎實，思維不夠嚴密，就很難逾越這些陷阱。

編制“陷阱題”主要抓住一些很容易疏忽的數學內容，比如：函數極值、方程求解、三角求值等問題。請看下面的例子：

若，為常數，，為變量，，，，都是正實數，且，則的最小值為（ ）。

A. B.

C. D.

對于該問題，很容易得到下面的解法：

=（）（+）≥·，因此答案B將很多學生給蒙騙了。“陷阱”B的作用主要是激發情緒上的興奮，只有思維很嚴密的學生才會考慮到必須檢驗等號是否成立。事實上，B的答案是達不到的，必須調整做法：=（）（）=++≥，經驗證等號可以成立。故應選A。

“陷阱題”雖然比較難對付，但熟悉了這種題型的特征，再通過選填題的訓練，思考問題嚴謹了，掉入“陷阱”的可能性就會越來越小。

綜上所述，我們對數學選填題的基本類型與解題策略做了一些討論，解決一道較困難的數學問題可以用基本解法、變換解法以及構造解法等。在所有的解法中，最重要的還是基本解法。平時做題應多考慮基本解法，功底深厚了，再去探索一些好的思路，不斷提高變換、構造及抽象思維能力，才能在考場中神機妙算，迅速制定出最佳方案。

參考文獻

[1]花吉道.談解探索性問題的方法——定向分析法[J].蘇州教育學院學報，2002（S1）：38-40.

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