思維為主線 問題貫始終

摘 要：通過展示“初三概率復習”教學案例，提出了以思維為主線、問題貫穿始終的教學策略。

關鍵詞：思維；主線；問題

一、教學背景

本節課初三復習課，從內容上講，對初中三年六冊課本中的概率部分內容進行有效整合，力圖提煉出一條引導學生初步認識概率的主線，在這條主線的引領下，努力使學生對概率的定義、常見的概率模型、常見的計算概率的方法、統計與概率之間的聯系有整體性的認識。能在具體背景下正確理解概率的意義，并能利用概率知識解決一些關于游戲公平性的問題。

從教學方法上講，以問題串銜接各部分知識，從方法回顧到實際應用，以師生互動、生生互動為主要特色。

二、教學過程

（一）展示復習課題：《事件與事件的概率》

師：今天我們將要復習初中數學中的一塊重要內容——事件與事件的概率，看到這個課題，你會想起什么呢？

（學生思考片刻，有人回答想到了隨機事件。這里的問題具有一定的開放性，學生無論想到什么都是對概率知識整體性的回顧。）

師：不妨來看這個問題：考察下列事件，想一想它們發生的機會大小。①地球繞著太陽轉；②買一張彩票，正好中500萬大獎；③拋一枚普通的正六面體骰子，出現7點朝上；④袋中有2紅1白三個球，任意摸2個，必有紅球；⑤走出校門，看到的第一輛汽車的車牌照的末尾數字是偶數。

師：給它們分類合理嗎？說說你的分類標準。

生1：分三類：①④都是必然事件，②⑤都是隨機事件，③是不可能事件。

師：如果希望你分為兩類，你怎么分呢？

（學生沉思，繼而，有人站起來）

生2：老師，可以分為①③④都是確定事件，②⑤都是不確定事件。

其他學生恍然大悟。

（這個問題的設計，自然而然回顧了隨機事件即不確定事件，確定事件即不可能事件與必然事件的概念，通過學生的爭辯，對必然事件與確定事件這兩個易混淆的概念，進行了有效的辨別。）

（二）研究概率大小的常用方法：1.實驗估計法；2.理論預測法

師：在這些事件中我們對什么比較感興趣？當然是隨機事件發生的機會有多大，“機會”的大小在數學中就叫“概率”。那么怎樣來研究一個隨機事件的概率呢？有哪些方法呢？請想一想。

（這里無需學生回答，也不必自問自答，問題的設計在于啟發學生大腦回顧舊知，調集關于求概率的方法。）

師：第一種方法藏在問題1的解答中，請看：

問題1：小明和小亮做游戲，他們先在地上畫了兩個同心圓，（如圖），然后蒙上眼在一定距離外向圈內擲小石子，擲中陰影小明贏，否則小亮贏，未擲中圈內不算。下表是統計的一組數據。

（1）計算并完成上表；

（2）估計當m很大時，落在“陰影”的頻率將穩定在多少。

（3）小明、小亮獲勝的機會分別約為多大。

師：（1）請各小組合作，快速計算結果，填表；

（2）觀察最后一行數據，你發現了什么？請你估計當m很大時，落在“陰影”的頻率將穩定在多少。

（3）說說怎么得知小明、小亮獲勝的機會。

師追問：“頻率”與“概率”是一回事嗎？如果不一樣，那兩者有什么聯系呢？

生4：“頻率”與“概率”意義不一樣，但借助頻率可以估計概率，用大數次實驗的頻率穩定值來估計它發生的概率。

（這個問題的設計旨在讓學生感受統計的意義，能通過對事件發生頻率的分析，估計事件發生的概率；了解用頻率估計概率的必要性和合理性，培養學生的理性精神。由于不受列舉法求概率兩個條件的限制，所以用頻率估計概率的方法更具一般性與普遍性，適用范圍更廣。）

（關于直接枚舉法，課本并未具體介紹，但書后習題出現此類問題，故有必要讓學生了解，進而自己去辨別，選取合適的方法解題。）

例2.你還記得嗎？七年級的時候我們曾做過一個拼圖片的活動，將三張顏色不同的圖片對開剪成6張小圖片，閉上眼睛隨機抽2張，求它們正好拼成原圖的概率。當時我們通過反復實驗，發現正好拼成原圖的頻率穩定在0.2左右。請通過理論分析解釋，為什么頻率會穩定在0.2附近？

（這個問題的設計，讓學生體會到，無論是實驗估計還是理論分析，都是確定概率的方法，兩者是相輔相成，相得益彰的。實驗為理論提供了證明的依據，理論的支撐來源于實驗，使學生對概率計算方法有了整體性了解，避免支離破碎地理解概率和生搬硬套地應用。）

（4）若小吳在小周擲過骰子后再擲，小吳可能得到玩具嗎？若能，小吳第二次擲到玩具的概率是多少？

（5）現在數字6的格子里放的是足球，小吳和小周都想得到它。若小吳在小周擲過之后再擲，那么這個游戲對雙方公平嗎？為什么？（這里滲透游戲的公平性問題，即雙方贏的概率是否相等。）

（游戲是學生喜聞樂見的活動方式，游戲契合了學生的好奇心理，學生們躍躍欲試。由于概率的本質是隨機性，將概率的應用設計于游戲之中，再恰當不過了。學生在游戲中體會概率的意義，對隨機性的體會非常深刻，至此課堂氣氛達到高潮。）

另外，對問題（4）的解答，需要學生有一定的理解題意的能力和一定的化歸能力。擲出什么情況小吳就得到玩具了呢？這要受小周擲出的數字的影響，當小周、小吳兩個人擲出的數字之和為4或8時，小吳就能得到玩具。這樣，小吳第二次擲得到玩具的概率值的大小問題就轉化為：擲兩枚骰子，求點數之和為4或8的概率值問題。由于解題之前，學生有充分的時間參與游戲，領會游戲規則，故在解決較為復雜的問題（4）時，能夠自然地將復雜問題有效進行轉化，進而順利解決問題。

對問題（5），順勢設計游戲的公平性問題，學生感到自然而然，毫不生硬，至此，學生對初中階段概率部分的主體內容有較為全面整體的認識。

三、教學反思

一節酣暢淋漓的課堂，教師與學生內心產生強烈共鳴，師生同樂，這應該是為師者的最大快慰。上完本節課，學生臉上面帶微笑，教者的內心也充滿著快樂，一節枯燥的初三復習課，之所以能有這樣的效果，我想得益于以下幾個方面的努力。

（一）深入研讀課程標準，整體把握教材內容

當代美國著名數學家哈爾斯說：“學數學，就是要理解一種結構。”從《義務教育數學課程標準（2011年版）》對第三學段統計與概率內容目標的描述中，我們可以看到統計的課程內容有9條，概率的課程內容只有2條。因此，在初中階段，統計在課程中所占的比例遠遠大于概率。在日常教學中，應正確認識概率、統計在初中的定位。概率課程要求通過了解簡單的隨機事件，形成對隨機現象的初步認識，知道簡單隨機事件可能的結果及頻率與概率之間的關系，掌握古典概型及幾何概型的概率計算公式。

（二）設計思維主線，以問題貫穿始終

哈爾斯還說過一句經典：“問題是數學的心臟。”對課程標準中初中階段概率內容及目標的整體把握，是本節課問題設計的核心。從事件的分類到問題1的投擲圓環到問題2的籌碼游戲，都是對概率的基本概念、基本計算方法的回顧。對經典例題1的回顧，設計了兩次變形，使學生對游戲規則有準確的理解，對經典例題2的回顧，再次讓學生感受到統計與概率的密切聯系，體會到兩種計算概率方法的和諧統一。另外，在提問時，應設計開放性的問題，如，“你可以給它們分分類，說說你的分類標準？”這樣才沒有限制學生的思維，給學生創設一個自由的空間，學生在這個空間中可以按自己的方式展開想象，才能暢所欲言。

（三）民主的課堂是學生最終的向往

民主是現代課程中的重要理念，民主最直接的體現是在課程實施中學生能夠平等地參與。沒有主動參與，只有被動接受，就沒有民主可言。相反，如果沒有民主，學生的參與就不是主動性參與，而是被動的、消極的參與。教者心懷民主情懷，設計了眾多問題，都從學生的實際出發，在課堂討論中，學生也感受到這一點，所有學生大膽表達觀點，無論對錯，都是一種精彩。

編輯 郭曉云