高等數學背景下的一道初等數學題研究

【摘要】文章運用高等數學對一道初等數學題的研究，體現了高等數學知識對初等數學的指導作用。

【關鍵詞】初等數學函數高等數學

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2014）19－0094－01

題目：討論方程lnx＝ax（a＞0）解的個數。

我們首先用初等數學方法來解決這道問題。

解：不妨設y1＝lnx，y2＝ax（a＞0），原題可轉化為求函數y1，y2的圖像交點的個數。

假設函數y1＝lnx，y2＝ax（a＞0）有交點，交點坐標為（x0，y0），則當y1，y2有一個交點

時，即函數y1在點（x0，y0）處的

切線斜率應和函數y2的斜率相等，

則交點坐標應該滿足如下的關系

式：

解得： ，交點坐標為（e，1），易知，（1）當

時，函數y1，y2有兩個交點，此時方程lnx＝ax（a＞0）有

兩個解：（2）當 時，函數y1，y2有一個交點，此時方程

lnx＝ax（a＞0）有一個解；（3）當 時，函數y1，y2沒

有交點，此時方程lnx＝ax（a＞0）無解。

然而，這是用初等數學里數形結合的思想方法解決這道問題，但是我們會有一個疑問：為什么當a取不同的范圍時，原方程解的情況是不同的呢？對于這個疑問，我們在學習了高等數學相關知識之后，會有一個完美的解答。

我們繼續分情況討論：

當 時，構造函數F（x）＝ax－lnx，x∈（0，＋∞），

（1）當x∈（0，1］時，函數y1＝ax的函數值恒大于零，函數y2＝lnx的函數值恒小于零，則函數F（x）的函數值恒

大于零，此時方程無解。（2）當x∈［1， ）時，F（1）＝

a＞0，F（ ）＝1－ln ＝1＋lna＞0，又因為1≤x＜ ，則

＜ ≤1，則F（x）′＝a－ ＜0，函數F（x）在區間［1，

］是單調遞減的，故原方程無解。（3）當x∈［ ，＋∞）

時，F（ ）＞0，又因為 ＜x＜＋∞，則0＜ ＜a，F（x）′

＝a－ ＞0，函數F（x）在區間［ ，＋∞）是單調遞增的，

F（x）＞F（ ）＞0恒成立，故原方程無解。

當 時，原方程轉化為 ＝lnx，設F（x）＝ －lnx。

（1）當x∈（0，e）時，F（x）′＝ ，F（x）在區間

（0，e）上是單調遞減的，又因為ln0是一個負無窮小量，則F（0）＞0，又因為F（e）＞0，則F（x）＞0恒成立，

故此時方程無解。（2）當 時，F（x）＝0，此時方程

有一個解。（3）當x∈（e，＋∞）時，F（x）′＝ ，

F（x）在區間（0，e）上是單調遞增的，又因為F（e）＞0，則F（x）＞0恒成立，故此時方程無解。

當 時，構造函數F（x）＝ax－lnx，x∈（0，＋∞）。

（1）當x∈（0，1］時，易知lnx≤0，ax＞0，則函數F（x）＝

ax－lnx恒大于零，此時方程無解。（2）當x∈（1， ］時，又

因為 ，則 ， ，故F（1）＝a＞0，F（ ）＝

1－ln ＜0，又因為函數F（x）在區間（1， ］是連續的。

又因為F（1）F（ ）＜0，由根的存在性定理可知， ∈

（1， ）使得F（x0）＝0，即lnx0＝ax0，又F（x）′＝a－

＜0，函數F（x）在區間（1， ］上是單調遞減的，則x0

是唯一存在的，故原方程在區間（1， ］上有且只有一個

實解。（3）當x∈［ ，＋∞），F（x）′＝a－ ＞0，F（a）

＝1－ln ＜0，又因為 F（x）＝ （ax－lnx）＝ x

（a－ ），又 ， x＝＋∞，故F（＋∞）

＞0恒成立，又因為F（a）F（＋∞）＜0，由根的存在性定

理可知， ∈（1， ）使得F（x0）＝0，即lnx0＝ax0。又

因為F（x）′＝a－ ＞0，函數F（x）在區間［ ，＋∞）

是嚴格單調遞增的。又因為F（x）是連續函數，則x0是唯一

存在的，故原方程在區間［ ，＋∞）上有且只有一個實解。

綜上所述，當 時，原方程有兩個不同的實數解。

參考文獻

［1］任親謀.數學分析選講［M］.西安：陜西師范大學出版社，2009

［2］華東師范大學數學系.數學分析（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2009

〔責任編輯：高照〕