初中數學開放題的設計與教學基本要求

隨著新課程改革的不斷推進，培養和提高學生的數學能力也逐漸成為初中數學教學的一項重要任務。《義務教育數學課程標準》（2011）明確提出：“數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用。”這就要求數學老師不能再局限于以計算技能和解決常規問題為教學目標實施數學教學，而是要在繼續堅持幫助初中生提高計算技能和深遠數學問題的解決能力的基礎上，著力于提高學生的高層次的數學思考能力、創新精神和解決實際問題的能力。圍繞這個教學目標，實踐路徑有很多，但開展探究性學習無疑是目前最主要的一種途徑。在探究性學習設計中，開放題的設計與教學是一種重要的教學手段。本文擬結合自身多年的數學教學實踐，就教師如何給學生設計開放題，并實施科學的教學基本要求進行探討。

一 數學開放題的基本內涵

數學開放題是在20世紀70年代后數學教學實踐中開始出現的一種新題型。數學開放題是指條件、結論及其解題策略都不固定，具有開放性的問題。如題目“已知梯形ABCD及其中上、下底AB//CD，現添加條件使梯形ABCD是等腰梯形”就是為滿足結論，但條件不唯一的問題，即答案并不唯一的開放題，它要求學生在掌握好梯形和等腰梯形的基本概念、特征和基本條件等基礎知識的基礎上進行逆向思維找到問題解決的條件。再如北京市2006年的中考題題目“某居民小區搞綠化，要在一塊矩形空地上建花壇，現征集設計方案，要求設計的圖案由圓和正方形組成（圓和正方形的個數不限）。并且使整個矩形場地成軸對稱圖形。請在下邊矩形中畫出你的設計方案。”就是要求學生進行發散思維，理清思路，大膽創造。

相比于小學生，初中生正處于具體符號運算和形式符號運算的交替階段，他們的抽象思維和發散能力已經開始形成，有部分初中生已經具有了較高水平的抽象思維和發散能力，他們在數學解題中不僅已經具備了基本的數學計算能力和常規問題的解題能力，還能自己去發現新問題。因此，針對初中生的實際心智發展水平，教師在數學教學中要根據其知識結構和學習生活經驗，設計一些開放題給他們。同時，一個問題的開放度常常取決于提問的方式。

數學開放題的基本特征是：（1）不確定性，即問題不一定必然有解，答案也不必唯一；（2）強調探究性和發散性，即沒有現成的和固定的解題模式；（3）非完備性，即題目中的條件并不完備，導致答案并不確定；（4）發展性，教師在開放題教學中不能簡單地注入式教學，而要著眼于學生的具體解題過程中的發散性思維和創新思維能力的培養。當然，開放題也是針對特定學生的知識結構和生活經驗，也就是說，在7年級是開放題，到9年級就未必是了。比如類似對多個球隊兩兩進行循環賽，問一共有多少場比賽的問題，學生掌握組合知識屬于開放題，但在學習和掌握了組合知識之后則又轉變為一道封閉題了。

總之，在平常的數學教學中，教師視具體的教學情況設計一些開放題進行教學，從近的來看，無疑可以調動學生學習的積極性，訓練學生的思維能力，也可以讓學生更深刻地理解一些基本的數學概念和定理；從遠的來看，可以拓展學生的思維空間，有利于培養學生的表達、批判和創新能力。

二 初中數學開放題的設計原則和基本要求

數學開放題的設計要求教師必須具有高度的業務素質以及處理問題的靈活應變能力。在開放題的編制中，教師必須遵循一些基本的要求，掌握一些基本的方法。

1．數學開放題設計的基本原則

第一，要保證題目設計的科學性。數學題目的科學性是衡量題目質量最重要的標志，也是題目編制的最基本要求，它直接決定了學生能否通過對題目的訓練達到預期的教學目標。開放題的設計也是如此。一般來說，數學老師在設計開放題目時，必須要嚴格定位測試范圍，要以數學課程標準為基本依據，反映學科核心知識、基本方法和技能；題目內容必須要正確無誤，陳述性語言要精確，有明確要求且必須可行，不能有誤導或歧義，同時還要考慮教學評價或測試評分的可操作性。

第二，要堅持題目設計真正體現開放性。教師所設計的題目要能切實拓寬解決問題的途徑，有利于培養學生學習的主動性、趣味性、持久性和發散性思維的形成，實現對學生創新精神和創新能力的考查。

第三，要符合學生實際，體現出層次性。題目要具有層次，盡量減少繁雜的證明與計算，盡可能做到新穎、解答簡潔，對不同認知水平的學生來說都有探索的余地，在自已的能力范圍內都能參與問題的解決并獲得各自的解答。

2．數學開放題的設計基本要求

設計要求是設計原則在開放題目設計過程中的具體體現。一般來說，初中數學開放題設計要符合如下要求。

第一，設計的題目要形式多樣，不同類型的題目設計方法也不一樣。數學開放題目一般可分為條件開放題，即通過增強題目內條件的探索性和選擇性，考查學生掌握知識的程度和分析問題的能力；策略開放題，即一題多解，以解決問題方法的多樣性，考查學生思維的靈活性和多角度、多層次、多途徑探究解決問題的能力；結論開放題，即條件既定，但答案多樣，主要考查學生運用所學知識展開發散思維得出結論；綜合開放題，即前三種的混合，更能培養學生創新能力和逆向思維能力。

面對如此多樣的開放題目，教師設計的題目要盡量涵蓋上述類型，不同的類型，設計方法也不一樣。以結論開放題為例，筆者在中考前復習八年級下冊的“相似三角形”內容時，我先是引導學生將例題“已知：在Rt△ABC中，CD是AB上的高線。求證：△ACD∽△CBD∽△ABC。”推導完后，問學生：“如果我們不看原題的求證結論，只是根據題目中的已經條件，你們看還能推導出什么結論？”學生立刻來勁了，氣氛變得很活躍，并得出了許多結論，如∠ACD＝∠B，∠DCB＝∠A；△ACD∽△CBD，△CBD∽△ABC，△ACD∽△ABC；CD2＝AD#8226;BD，AC2＝AD#8226;AB，BC2＝BD#8226;AB等。

第二，設計開放題的來源要多樣。目前，初中數學開放題的來源主要來自于封閉題的改造和實際生活的一些數學運用問題。教師在設計時，既要立足于原有封閉題進行改編，更要多從現實中的數學運用問題中發現素材，設計開放題。以實際生活中的數學運用來設計開放題，更能讓學生認識到數學的意義，提高其對數學的認知。取材于實際生活中的開放題目，由于自然特點或由實際需要決定，其條件往往不能完全確定。如在講授一元二次方程時，我設計了一個開放題：“某建筑物地基是一個邊長為10m的正六邊形，要環繞地基開辟綠化帶，使綠化帶的面積與地基面積相等，請你給出設計方案。”結果，學生的興趣很高，最終也提供了幾種可供選擇的方案。

第三，設計的題目要盡量適合學生開展探究性活動。設計開放題從教學目標上來說，就是為了提高學生的數學探究能力。如果在開放題中，讓學生通過相互合作，自主探究，做小科學家，激發其創造力和發散性思維能力，其教育價值不言而喻。在學完數據統計圖相關知識以后，我曾經設計過一道開放題，要求學生在課后通過小組合作，去了解大湖鎮周邊的河流污染情況，并要求學生運用剛學的數據統計知識，為大湖鎮治理周邊河流水污染提供可行性方案。這道題的意圖在于要學生根據學過的數據統計知識調查周邊河流水污染的原因，然后設計治理方案，以訓練學生仔細調查研究、不怕吃苦的精神，同時培養團隊協作精神，讓學生感到所學知識有所用，嘗到成功的喜悅。

三 初中數學開放題教學的基本要求

1．課前要精心準備

課前精心準備是所有課程教學的基本要求，對于開放題教學也是如此。在開放題教學中，教師在課前的必要準備包括對學生的準確了解，對開放題的精心設計和對教材例題和習題的研究。（1）教師必須準確地了解所教學生的數學知識掌握情況，在設計和講解開放題時能從學生實際情況出發，根據學生的興趣和愛好來選擇開放型試題的講解，不能讓一部分學生有能力和興趣參與學習探究，而另一部分學生或者沒有能力，或者沒有興趣。（2）教師要按照科學性、開放性和層次性的原則精心設計開放題。開放題要圍繞教學目標設計，由易到難、由舊知識到新知識逐步過渡，數量和開放度都要適中。同時，教師還要對教材作精心研究，以了解教材中有關教學內容的可開放性和開放度，分析哪些內容學生可以自主探究獲得，哪些內容不適合開放題教學。尤其是對教材中的例題和習題更是要精心研究，了解哪些題目有必要將封閉題加以適當更改，轉化為開放題。

2．在教學中重視學生的合作學習，展開探究性學習

數學開放性試題的最大特點就是開放性和多元性，即多種條件和多種解法。這類題目的解題過程一般需要學生或師生多人的合作才能完成。在具體的講解過程中，教師可以采用集體教學、小組教學、個別教學相結合等多種渠道相結合的方式，并合理優化分組，讓每個小組中的每個成員都能暢所欲言、發表所見、集思廣義、同力協作，并讓不同學習水平的學生，解決不同的層次問題。

在數學開放題教學中，教師不能簡單地只看學生解決問題的答案對與錯，而更應注重觀察學生的解題方法和過程。密切關注學生在解題過程中是否做到了合作學習、自主探究，發揮了集體的智慧與力量。在學生的探究過程中，教師不只是一個組織者和答案給予者，更是一個引導者，應該對學生的整個探究過程進行全程指導，對錯誤行為予以糾正，對正確的行為予以鼓勵，并認真細心地記錄學生在學習過程中的每一個細節、動向、情景等表現，逐一進行研究、探討、反思，總結得失，為數學開放題收集資料，積累經驗。

3．開放題教學要堅持循序漸進

數學開放題的解題與教學是一個逐步啟發學生自主學習、創新思維的過程。而這個過程也是學生對某一開放題的逐步深入了解，逐步推進解決的過程。因此，教師在具體教學過程中不能急于求成，或者怕教學秩序的失控或者怕教學時間不夠，而草草結束解題過程，直接給學生答案。因為這樣的話，學生的創新思維和逆向思維還沒有來得及充分發揮，在整個過程中學生得不到應有的鍛煉。其實，一般開放題都需要較長時間的學習與探究，學生要想掌握這類題型的解法，往往需要很長的一個練習與思維過程。教師要有耐心，題目數量可以不多，但每一道題都要實現其基本目的，否則，一堂課則變成了游戲課。

4．在開放題解題完畢后，要總結規律

開放題的設計教學目的在于培養學生的數學能力，而不是簡單地就題論題。因此，當開放題各種解題方法都已經展現、結論都推斷出來后，教師應該讓學生自己小結或給學生總結。這種總結應該能起到畫龍點睛的作用，從而讓學生比一比各種策略的孰優孰劣，找一找各種結論的規律，最后上升到共性的總結，啟發學生對結論一般化的認識，尋找數學學習的規律，挖掘題目中所包含的數學思想和數學方法。

總之，隨著新課改的推廣應用，數學開放題型作為一種新題型，在初中數學教學和各類考試中占了重要的比例。教師在具體的教學過程中，從開放題的編制到具體的解題過程都要遵循教學規律，以學生為本，為了學生創新能力的培養和數學能力的提高，認真編制開放題，并采取科學有效的教學策略進行教學，以提高初中數學教學的有效性。

〔責任編輯：范可〕