淺論用矩陣的秩判斷平面的位置關(guān)系

摘 要： 本文利用矩陣的秩的相關(guān)概念和定理，給出了空間中三個(gè)平面的八種位置關(guān)系的判定.

關(guān)鍵詞： 矩陣的秩 系數(shù)矩陣 增廣矩陣

矩陣的秩不僅在高等數(shù)學(xué)中有著重要的實(shí)際背景和理論意義，在中學(xué)數(shù)學(xué)的空間解析幾何中也發(fā)揮著重要作用.

1.矩陣的秩的相關(guān)概念與定理

定義1：向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩.

定義2：矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩；矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩.

矩陣的秩的兩個(gè)等價(jià)定義：

（1）矩陣的列秩等于矩陣的行秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩.

（2）矩陣中最大階非零子式的階數(shù)稱為矩陣的秩.

根據(jù)文獻(xiàn)[1]與[2]，我們有如下引理：

引理1：非齊次線性方程組

a x +a x +…+a x =b a x +a x +…+a x =b …… a x +a x +…+a x =b

有解的充要條件是：它的系數(shù)矩陣A=a a … a a a … a … … …a a … a 與增廣矩陣 =a a … a b a a … a b … … … …a a … a b 有相同的秩.若秩（A）=秩（ ）=r，當(dāng)r=n時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)秩r

引理2：系數(shù)矩陣的秩不大于增廣矩陣的秩.

引理3：設(shè)空間兩平面的方程為：

π ：A x+B y+C +D =0π ：A x+B y+C +D =0，

兩平面π 與π 相交的充要條件是A ∶B ∶C ≠A ∶B ∶C ，

平行的充要條件是 = = ≠ ，

重合的充要條件是 = = = .

2.主要結(jié)論

定理：設(shè)空間中三個(gè)平面π ，π ，π 的方程為：

π ：A x+B y+C z+D =0π ：A x+B y+C z+D =0π ：A x+B y+C z+D =0 ①

其系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別為：

A=A B C A B C A B C ， =A B C -D A B C -D A B C -D .

若秩（A）=r，秩（ ）= ，根據(jù)線性方程組的理論，則空間中三個(gè)平面的位置關(guān)系有下列八種情況：

（1）三個(gè)平面交于唯一點(diǎn)，則有r= =3；

（2）三個(gè)平面交于一條直線，且都不重合，則有r= =2，且方程組①中任意兩個(gè)方程不同解；

（3）三個(gè)平面交于一條直線，且其中兩個(gè)重合，另一個(gè)不重合，則有r= =2，方程組①中有兩個(gè)方程同解；

（4）三個(gè)平面都重合，則有r= =1；

（5）三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線相互平行，但任意兩條交線都不重合，則有r=2， =3，且方程①中任意兩個(gè)方程都有公共解，但不同解；

（6）三個(gè)平面中有兩個(gè)平行但不重合，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，則有r=2， =3，且方程①中有兩個(gè)方程無解，另一個(gè)方程與這兩個(gè)方程都有公共解；

（7）三個(gè)平面相互平行且都不重合，則有r=2， =3，且方程①中任意兩個(gè)方程都無公共解；

（8）三個(gè)平面中有兩個(gè)重合，另一個(gè)與這兩個(gè)平行但不重合，則有r=1， =2.

證明：（1）三個(gè)平面交于唯一點(diǎn)的充要條件是三個(gè)平面的方程只有唯一的公共解，即方程組①有且僅有唯一解，由引理1和引理3可得r= =3.

（2）三個(gè)平面交于一條直線，則方程組①有無限解，由引理1得到r= <3，若秩為1，由引理3知三平面重合，與條件矛盾，所以r= =2.又三平面都不重合，可得任意兩方程都不是同解方程.

（3）證明與（2）類似.

（4）三平面重合的充要條件是三個(gè)方程為同解方程，即r= =1.

（5）由條件可知三平面無公共點(diǎn)，即方程組①無解，由引理1知r≠ ，

由引理2，r≠3，否則r= =3與方程組①有解矛盾.

當(dāng)r=1時(shí)，則三平面未知量的系數(shù)分別成比例，由引理3知道三平面相互平行，與已知矛盾，所以有r=2， =3，且方程①中任意兩個(gè)方程都有公共解，但不同解.

（6）兩平面平行，由引理3知有兩方程的未知量系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，得r=2， =3.另一個(gè)平面與其余兩個(gè)相交，說明方程①中有兩個(gè)方程無解，另一個(gè)方程與這兩個(gè)方程都有公共解.

（7）證明與（6）類似.

（8）有兩個(gè)平面重合可得有兩個(gè)方程為同解方程，可得 =2.第三個(gè)平面與前兩個(gè)平行不重合，說明三平面無公共點(diǎn)，即方程組①無解，只能r=1.

我們?nèi)菀椎贸觯摱ɡ淼臈l件不僅是必要條件而且是充要條件.

例題：判斷下列各平面的位置關(guān)系：

π ：x-y-z+1=0π ：2x-2y+-2z-1=0π ：2x+3y-z+4=0.

解：設(shè)系數(shù)矩陣A的秩為r，增廣矩陣 的秩為 ，

=1 -1 -1 -12 -2 -2 12 3 -1 -4 1 -1 -1 -10 0 0 30 5 1 -2 1 -1 -1 -10 5 1 -20 0 0 3

故r=2， =3，其中π 與π 方程無解，可得π 與π 平行，而π 與π 和π 的方程都公共解，可知π 與π 和π 相交，屬于定理中類型（6）.

除此之外，還可以用矩陣的秩判定空間兩直線，直線與平面的位置關(guān)系，可見矩陣的秩在解析幾何中的應(yīng)用很廣泛，我們需要不斷學(xué)習(xí)和研究.

參考文獻(xiàn)：

[1]張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]安芹力.用矩陣的秩判斷兩空間直線及直線與平面的位置關(guān)系[J].高等數(shù)學(xué)研究，2005，8（3）：54-57.