高中數學課堂教學中的“一三一”

摘 要： 本文以一道等比數列基本量的計算題為例，談談高中數學課堂中的“一例三變一總結”教學，目的在于培養學生的邏輯推理能力，并結合例題探討了在變式教學中應遵循的原則.

關鍵詞： 數學教學 變式教學 教學應用 數學思想 數學方法

數學學習內容的豐富，方法的精妙，思想的深邃注定了高中數學教學不可能是簡單的線性結構.而在數學課堂上，如果不能根據不同情況采取變條件、變結論、變形式、變圖式等方法教學，就不能使學生對所學的知識進行分析、綜合、歸納、整理，學生也就不能系統、深刻地理解所學知識，而“一例三變一總結”正是要求學生通過對例題的理解，由模仿到自己獨立思考，從不同角度循序漸進地理解相關知識的精髓，領會數學思想的滲透和數學方法的靈活應用.

在數學教學中，我們經常要求學生進行變式訓練，然而我們改變舊題的過程十分粗糙、簡單，大都是變換數據，變換說法，很少對條件、結論進行深加工，因此往往導學案上改編后的題目與課本、習題冊的題目沒有本質區別，更談不上創新及數學思想的滲透.那如何才能進行高質量的變式教學呢？這就要求教師課前認真備教材，靈活處理相關例題和習題，并注重數學方法的領悟和數學思想的滲透，這對學生數學思維的培養及數學能力的提高有很大的促進作用.筆者結合在數學教學中遇到的一道題，談談如何進行“一例三變一總結”教學，從而培養學生思維的開放性和創新能力.

例題：已知數列{a }為等比數列，a +a =18，a +a =36，求數列{a }的通項.

分析：本題是關于等比數列基本量的計算，將所有量轉化為首項a 和公比q，即可求出通項公式，這是最基本的數學方法.

解：設等比數列{a }的首項為a ，公比為q，則由題意知

a q+a q =18a q +a q =36 兩式相除，得q=2，從而a = ，

所以a =a q = ·2 ，n∈N .

小結：在平常的數學教學中展現最基本的數學方法，在具體的例題中給學生以數學方法的展示，在數學解題之中感悟領會數學方法，是我們不斷追求的目標.

變式1：已知數列a 為等比數列，a +a =18，a +a =36，則a +a =？搖 ？搖.

分析：例題講解之后，很多學生看到該題會首先求解通項公式，進而得到a 和a 的值，計算量偏大，并且容易算錯.那對于這道填空題，有沒有簡便方法呢？經過提示，有的學生會通過觀察項數特點，利用整體替換的思想求解，過程如下.

解：設等比數列{a }的公比為q，則q= =2，a +a =q （a +a ）=288.

變式2：已知數列{a }為等比數列，a +a =18，2（a +a ）=5a ，則a =？搖 ？搖.

分析：本題若將各項轉化為首項a 和公比q，則對部分學生來說計算量偏大，而且容易出錯；若利用特殊值法，滲透從一般到特殊的數學思想，則方便快捷，同時也能培養學生應用知識的靈活性.

解：令n=2，則a = （a +a ）= .

變式3：已知數列{a }為等比數列，a +a =18，a a =36，則公比q=？搖 ？搖.

分析：本題利用了等比數列的性質：m+n=p+q時，a +a =a +a ，m，n，p，q∈N ，并滲透了分類討論的思想.

解：由a ·a =a =36a +a =18知a =12a =6或a =12a =-6

又因為q = >0，所以a =12，a =6.

因此q = = ，q=± .

小結：變式1在例題的基礎上變換問法，而變式2和變式3在例題的基礎上變換條件和問題，它們從不同角度分別滲透了整體替換，從一般到特殊，以及分類討論的數學思想.通過這些數學思想的培養，數學能力才會有大幅度提高.掌握數學思想，就是掌握數學的精髓.

然而，在變式訓練中，不僅要重視數學思想的滲透，而且要注重數學方法的靈活應用.課本是試題的基本源頭，是高考命題的主要依據，很多高考題都是在課本的基礎上組合、加工而成的.因此，變式題既要源于課本，又要高于課本.下面以課本中的一道習題為例進行變式教學.

例題：（人教版必修5P47習題2.3B組題4）數列{ }的前n項和S = + + + +…+ ，研究一下，能否找到求S 的一個公式，你能對這個問題作一個推廣嗎？

分析：本題考查了數列求和的一種常用方法：裂項相消法，而這種方法在高考中有著廣泛應用.

解：數列{ }的通項公式為a = = - ，

所以S =（ - ）+（ - ）+（ - ）+…+（ - ）=1- = .

類似地，我們可以求出通項公式為a = = （ - ）的數列的前n項和.

變式1：（2011年全國新課標卷理）等比數列{a }的各項均為正數，且2a +3a =1，a =9a a ，

（1）求數列{a }的通項公式；

（2）設b =log a +log a +…+log a ，求數列{ }的前n項和.

分析：（1）問比較簡單，求出首項a 和公比q即可得到a = ，n∈N ；（2）問考察了裂項相消法在數列求和中的應用，解法如下：

因為b =log a +log a +…+log a =-（1+2+3+…+n）=- ，

所以 =- =-2（ - ）.

+ +…+ =-2[（1- ）+（ - ）+…+（ - ）]=- ，

故數列{ }的前n項和為- .

變式2：證明2 -2<1+ + +…+ <2 -1.（n≥2，n∈N ）

分析：學生一般會利用數學歸納法證明該題，但過程繁瑣，而且從n=k過渡到n=k+1的證明有一定難度；若先將通項進行放縮后再裂項相消則降低了試題的難度.

證明：因為 = > =2（ - ）（n≥2，n∈N ），所以1+ + +…+ >2（ - ）+2（ - ）+…+2（ - ）=2 -2.又因為 = < =2（ - ）.（n≥2，n∈N ），所以1+ + +…+ <1+2（ - ）+2（ - ）+…+2（ - ）=2 -1，即不等式成立.

變式3：（2014年湛江一模理19）已知正數數列{a }中，a =1，前n項和為S ，對任意n∈N ，lgS ，lgn，lg 成等差數列.

（1）求a 和S ；

（2）設b = ，數列{b }的前n項和為T ，當n≥2時，證明：S

分析：本題（1）問主要利用累乘法求出a = ，n∈N 和S = ，n∈N ，而對于（2）問，大多數學生會選擇用數學歸納法證明，但證明n=k+1時無從下手，因此本問得分率較低.但是裂項相消法的應用，為本題提供了方便，解法如下：

解：由（1）得b = = =2[ - ]，且（n+1）！>n+1，n∈N ，從而

T =2[（ - ）+ - +…+（ - ）]=2[1- ]<2，

T =2[1- ]>2（1- ）= =S .

不等式得證.

小結：例題和三個變式都是裂項相消法的靈活運用，培養了學生的邏輯思維能力及解題創新能力.

掌握數學的思想和方法是學習數學知識的本質，是分析數學、處理數學、解決數學問題的方針和策略，是進行探究性學習的工具.數學方法和思想的教學是提高高中生數學素養，培養其創新能力的關鍵，是一切數學創新的源泉.因此，變式題練習要力求培養學生對數學思想的領悟及對數學方法的靈活運用，這樣，學生的成績才會顯著提高.

數學教學不提倡題海戰術，但練習題一定要做到少而精.“一例三變一總結”教學正是以此為前提，通過常規例題及融匯了數學思想和數學方法的變式訓練，讓學生舉三反一，不斷提高自身的發散思維能力和創新能力.