對案例引入定積分教學的探索與實踐

摘 要：將案例融入定積分教學是一種有意義的教學方式的嘗試。通過在課堂教學中穿插聯系生活實際的案例，培養學生獲得將抽象的數學概念和實際問題建立聯系的能力，同時也使學生獲得最有效地找到解決問題切入點的思路，以及能夠應用知識正確而簡潔地解決問題，進而提高學生解決實際問題的能力。

關鍵詞：案例 定積分 應用能力

中圖分類號：O245 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）05（b）-0127-02

Exploration and Practice on the Case of introduction of Definite Integral Teaching

Abstract：The case integrated into definite integral teaching is an important teaching method attempt. Teaching in the classroom by inserting contact life actual cases， help the students get the abstract mathematical concepts and practical issues to establish contact capacity， but also enable students to obtain the most effective to find solutions to problems starting point of thinking， and the ability to apply knowledge of the correct and simple solution to the problem， so as to improve the students ability to solve practical problems.

Key words：case definite integral application ability

高等數學是非數學專業大學生的一門重要的必修基礎課程，定積分是高等數學中的一個重要章節。定積分不僅在理工學科領域中占有重要地位，而且已逐漸滲透到經濟、金融以及人文社科等各個領域，正日益成為各學科進行科學研究的重要手段和工具。定積分概念的產生來源于計算平面上曲邊梯形的面積和物理學中諸如求變力所作的功等物理量的問題，解決這些問題的基本思想是用有限代替無限。積分學極大的推動了數學的發展，同時也極大的推動了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中的發展，并在這些學科中有越來越廣泛的應用，特別是計算機的出現更有助于這些應用的不斷發展。

1 案例引入定積分教學的意義

定積分具有較強的實用性，對培養應用型人才[1]有重要的作用。傳統的教學法比較重概念、重計算、輕應用，造成學生學習定積分的困難。學生談到定積分時，只能想到抽象的理論、繁瑣的計算，卻感覺不到定積分理論體系存在的實際意義，更不知道如何應用這一理論，也就激發不了學生學習這門課程的興趣。因而在定積分教學過程中可以有意識地結合教學內容和學生的知識水平，制造實際問題的背景，把學生引導到情境中來，讓學生在情境中理解概念、公式、定理，從而增加學習的趣味性和學生學習的主動性。采用案例式教學[2]，將案例融入定積分課堂教學中，通過實例使得學生對定積分的知識有更直接、更形象的認識，讓學生感覺到學有所用的同時，強化了學生的應用意識，培養了學生應用能力，增強了學生對知識的掌握和理解。

2 案例引入定積分教學的探索

美國大學數學改革開始于80年代，注重培養學生獨立探索問題及創造新方法的能力。在教材中廣泛應用圖形、數學軟件和其他計算機技術，鼓勵學生進行探索性學習，提高學生在學習過程中的參與程度，有利于發揮學生的主動性和創造性。而我國現有的教材大都比較重視理論，無論是在內容還是在習題上，都沒有涉及到定積分知識在經濟、管理或者在其他方面的應用。因此，許多大學生都產生了疑問：學習定積分的知識能做什么，怎么用？為了有效的解決這個問題，我們在教學過程中，引入實際案例，為此我們主要在以下三個方面作了一些探索。

2.1 通過實例引入基本概念

在引入概念、定理、公式時，通過闡明概念、定理、公式的提出過程和背景，由案例出發，引入新的概念、定理、公式。這樣教師能很好的利用學生已知的或較容易理解的知識進行教學，學生也能容易地通過已學的和較容易理解的知識去理解和掌握新的知識和規律。同時，好的案例也能激發學生的學習興趣，使枯燥乏味的理論課教學變得生動活潑。

案例1 位于河邊的一家小造紙廠，向河中排放含四氯化碳的污水。當地環保部門發現后，責令該廠立即安裝過濾裝置，以減慢并最終停止四氯化碳排入河中。當過濾裝置安裝完畢，并開始工作到污液停止，四氯化碳的排放速度（單位：立方米/年）可以由模型

逼近，其中是從過濾裝置開始工作時計算的時間。問從過濾裝置開始工作到污液完全停止需要用多長時間？在這段時間里有多少四氯化碳流入河中。

解 過濾裝置開始工作到污液完全停止，這段時間里四氯化碳流入河中的量用表示。

令，即年，于是有

。

即從過濾裝置開始工作到污液完全停止需要4年時間，在這段時間里有16四氯化碳流入河中。

這兩個例子可作為微積分基本公式的應用例子，既讓學生了解概念，又增加了學習的興趣。

2.2 培養學生應用定積分知識的能力

將定積分知識與所學專業相結合，通過案例，培養學生的應用能力。應用問題的選取應盡可能將數學實踐內容與定積分教學內容有機的結合起來，引導學生從單純的學習理論知識過渡到解決實際問題。通過引用案例，提高學生的數學素養和用定積分思想和方法解決實際問題的意識，進而全面提高教育質量。

案例2 這場大雪是從何時開始下的？

某小鎮凌晨5：00點發現正在下大雪，于是出動鏟雪車鏟雪，1 h后（到6：00）鏟清了1000 m路面，又經過1 h（到7：00）又鏟清了500 m長的路面。從而鏟清了到達高速公路入口處的全部路面。設雪在一直不停地均勻下著，鏟過雪的地方撒上了鹽，不會再有積雪。試問這場雪是什么時候下的。

分析該文題中積雪的厚度是個變量，所以鏟雪車不可能是勻速前進的（當然要假定路面的寬度是一樣的）。注意到積雪厚度跟下雪時間成正比，就可以解決本問題。

解 以剛開始時刻為時間坐標的原點，由于下雪的速度是均勻的，所以在t小時積雪厚度為m。又設路面的寬度為bm，鏟雪車的工作效率為

設在時間段所鏟積雪的體積為，則鏟雪車推進的距離為

。

則可得如下兩個關系試

。

由此可得

即。

解得小時，從而可知這場大雪大約是從4點22分55秒開始下的。

本例可作為定積分的元素法[3]的一個實例講解，將抽象的理論知識與實際應用聯系起來，達到培養學生解決實際問題的能力。

2.3 培養學生應用定積分知識解決問題的能力

當學生將實際問題轉換數學問題時，還要指導他們正確地解決問題，獲得所需要的解。在具體解決問題時，要盡可能的將知識點穿插起來，使學生能更好的理解和掌握各個知識點，使學生在求解的過程中體驗到解決問題的快樂。利用極坐標計算面積是定積分學習的一個難點，學生對極坐標系下的圖形比較陌生，對利用極坐標的計算更是不知所以然，可以通過適當的案例，將抽象的理論具體化，讓學生利用極坐標的計算有更直接、更形象的認識。

案例3八月中秋吃月餅，一個月餅四等分。

一個月餅是由雙紐線

圍成，如圖1，請用刀子將此月餅分成四等分。

解 由于月餅的邊界曲線是由極坐標形式給出的，所以我們嘗試從原點出發的射線來達到四等分的目的。

由對稱性可知，直線已經實現月餅二等分的目的。接下來需要找到射線

將位于部分的月餅二等分。

根據極坐標系下的面積公式，可以通過解方程

，

即

得到射線的方程（一刀切下去的角度）為

。

對稱的一刀，即射線，又將剩下的月餅再分成相等的兩部分。

通過該案例，不僅使學生對極坐標系下面積公式的學習有了直觀的認識，也將有助于學生探索和解決問題能力的提高。

3 結語

將案例融入定積分課堂教學的做法，是以解決實際問題的方法實踐定積分的概念、理論以及計算方法。通過在教學過程中增加案例，讓學生了解這門抽象的理論是如何應用于實際的，進而對這門課程的理論有了新的認識，提高了學習興趣，增強了學生的應用意識、應用能力，同時使教學變得輕松并有良好的教學效果。而通過培養學生解決實際問題的能力，對于學生將來參加工作，自覺地用定積分中的方法解決實際問題也有一定的指導意義。

參考文獻

[1]馬元三.應用型本科教學方法研究—案例模擬教學法[J].淮陰師范學院教育科學論壇，2009（4）：21-23.

[2]蘇洪雨，江雪萍.高等數學案例教學的實踐與探究[J].高等理科教育，2009（3）：30-33.

[3]張新建，朱健民.關于“高等數學”教材對定積分元素法處理的幾點注記[J].大學數學，2008，24（2）：163-166.