正互反矩陣在層次分析法中的運用

摘 要：該文給出了正互反矩陣相關定義結論，通過層次分析法的簡單介紹指出正互反矩陣在其中的運用。

關鍵詞：正互反矩陣 層次分析法 排序

中圖分類號：N94 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）05（c）-0241-02

1 正互反矩陣相關定義、結論

定義1 設階矩陣，如果滿足以下條件：

（ⅰ）

（ⅱ）

則稱矩陣為階正互反矩陣.

根據定義1，顯然可以推出當時。

定義2 對于階正互反矩陣，有，則稱矩陣為一致性正互反矩陣。

定義3 對于正互反矩陣，若隨機一致性比率CR<0.1，則稱正互反矩陣為滿意一致性正互反矩陣。

定理1 設是正互反矩陣，若的最大特征根，則矩陣是一致性正互反矩陣。（其證明可參見參考文獻1）

2 層次分析法

20世紀70年代，美國匹茲堡大學教授沙丁（T.L.Saaty）提出了層次分析法（Analytic Hierarchy Process簡稱AHP），此方法是一種將定性分析與定量分析相結合的多目標決策分析方法，在應用上具有系統性、實用性、適應性、實用性的優點，因此是一種使用比較廣泛的方法。層次分析法不僅在應用上可信、靈活而且實用，它在理論上也存在原理簡單、結構層次明確、理論基礎扎實的優點，容易掌握和使用。但層次分析法也存在一定的缺陷：例如判斷矩陣的確定主觀因素比重較大，有時不夠精；一致性檢驗和調整要反復多次進行，直到獲得滿意的一致性準等。雖然層次分析法存在一定的缺陷，但還是在選址問題、環境問題、安全問題等多領域得到應用。

總之，對于層次分析法來說，把定性和定量分析相結合是其最大的特點，它按照分解、比較判斷綜合的思維方式進行決策的系統分析，是一種實用性強，而且簡潔有效的方法。其解決問題的基本步驟是：

第一步：明確問題

首先，對所要研究的問題進行判斷是否符合層次分析法的特征，能否應用層次分析法進行系統分析，確定問題所包含的各種因素及其之間的關系。

第二步：建立層次結構模型

經過調查、研究、分析，將相關的各個因素按照一定的分類屬性從上到下分成幾個層次排列，在同一層次中的各個因素對自身上層因素具有一定的影響或從屬于上一層因素，同時又受到各自的下一層因素的作用或支配下一層的因素。一般而言最高層作為目標層，通常只有一個因素，它表示所要解決問題應達到的目的；中間層可有一個或幾個層次，通常為準則或指標層；而最低層通常作為方案或措施層，表示解決問題的措施或方案。

第三步：構造判斷矩陣

構造判斷矩陣是從層次結構第二層次開始，用1—9比較尺度構造對于從屬于（或影響）上一層每個因素的同一層諸因素的比較陣，也就是判斷矩陣，直到最低層。具體過程如下：

若上一層次用表示，其下一層次有、、三個影響因素，則由此構造成判斷矩陣為三階矩陣，形式如表1所示。

其中表示對而言，對相對重要性的比較數值，數值是由1～9數字及其倒數組成，含義見表2所示。

第四步：層次單排序及一致性檢驗

此步驟是對上一步驟中建立的判斷矩陣計算特征根和特征向量。具體方法是首先計算滿足的判斷矩陣的最大特征根，其次求得最大特征根對應得特征向量，此特征向量即為本層次中各個因素的重要性次序的排序權值。

對于n階判斷矩陣，可由其最大特征根是否等于來檢驗判斷矩陣是否一致性。

3 結語

通過對正互反矩陣及層次分析法解決問題步驟各方面的介紹我們知道：（1）層次分析法的第三個步驟中用1—9比較尺度構造判斷矩陣，構造此判斷矩陣就是構造一個正互反矩陣；（2）第四步驟層次單排序，并做一致性檢驗是進行層次分析法的關鍵步驟——排序。排序的結果就是對第三步驟中構造的正互反矩陣求解最大特征根及其特征向量，并考察CR取值是否小于0.1，進行一致性檢驗。在層次分析法中當正互反判斷矩陣的一致性檢驗不合格，排序的結果可靠性就不強，故要對正互反判斷矩陣取值進行適當調整，直至檢驗合格，具體調整的方法有很多在這里我就不多加分析了。

總之，正互反矩陣在層次分析法中得到了充分的運用，使得層次分析法能夠以矩陣分析為基礎，有了強有力的理論支持，使得學者方便進一步的研究與應用。

參考文獻

[1]張翠蓮，何春江.正互反矩陣一致性的充要條件[J].華北航天工業學院學報，2001（1）.

[2]王蓮芬，許樹柏.層次分析法引論[M].北京：中國人民大學出版社，1990.