淺析高中函數(shù)的單調(diào)性

摘 要：本文的重點(diǎn)是淺析函數(shù)單調(diào)性及對教法的研究，通過仔細(xì)閱讀教材，筆者將教材知識(shí)以兩個(gè)部分的形式呈現(xiàn)：函數(shù)單調(diào)性的內(nèi)容剖析；教法研究。

關(guān)鍵詞：函數(shù)的單調(diào)性；教材教法；教學(xué)體會(huì)

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)對于促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的提升具有重要意義，因此，充分認(rèn)識(shí)到函數(shù)單調(diào)性的地位及作用，并進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性教學(xué)是教師課堂教學(xué)的關(guān)鍵。

一、函數(shù)單調(diào)性在中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的地位及作用

函數(shù)的單調(diào)性不僅在“數(shù)”上表現(xiàn)出一定的數(shù)量關(guān)系，也在“形”上表現(xiàn)出獨(dú)特的數(shù)學(xué)美感。而函數(shù)的單調(diào)性分為單調(diào)遞增與單調(diào)遞減，主要反映的是函數(shù)圖象的變化趨勢。函數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)很多內(nèi)容都密切相關(guān)，八年級(jí)下學(xué)期我們初步探討了函數(shù)的概念、函數(shù)關(guān)系的表示法以及函數(shù)圖象的繪制等，并具體討論了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等最簡單的函數(shù)；高中我們用集合的思想理解函數(shù)的一般定義，并在重新理解函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等，而后學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等都是函數(shù)內(nèi)容的主體。這些簡單的函數(shù)皆具備相應(yīng)的基本性質(zhì)，而函數(shù)的基本性質(zhì)的深刻理解有助于函數(shù)圖象的高效繪制，便于一些函數(shù)問題的解決。

二、淺析函數(shù)的單調(diào)性

（一）函數(shù)的單調(diào)性：

一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，區(qū)間.如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù).如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)。

概念體現(xiàn)了函數(shù)中的函數(shù)值與自變量x的一種運(yùn)動(dòng)關(guān)系，而學(xué)生大多習(xí)慣用靜止的眼光去觀察它，認(rèn)為x1，x2既然是任意取的，那么就可以任意取兩個(gè)具體的值，顯然這種看法是對函數(shù)單調(diào)性定義的錯(cuò)誤理解。函數(shù)的單調(diào)性可以根據(jù)“同向?yàn)樵觯愊驗(yàn)闇p”來記憶。

注意：

1.x1，x2是定義域內(nèi)任意的兩個(gè)值，不是存在著的；

2.增函數(shù)滿足自變量的變化與相應(yīng)函數(shù)值的變化有相同的變化趨勢，減函數(shù)滿足自變量的變化與相應(yīng)函數(shù)值的變化有相反的變化趨勢，概括來說“同增異減”。

3.單調(diào)區(qū)間若有兩個(gè)或兩個(gè)以上，區(qū)間之間用“和”連接。

另一方面，從圖象看：從左到右即說明 逐漸變大，而圖象有上升趨勢即說明逐漸增大，圖象有下降趨勢即說明逐漸減小，從左向右看符合學(xué)生正常的閱讀習(xí)慣，而“增”對應(yīng)的上升，“減”對應(yīng)的下降也符合學(xué)生的直觀感受，所以結(jié)合圖象更便于學(xué)生理解函數(shù)的單調(diào)性。

例如：判斷以下說法是否正確：定義在R上的函數(shù)滿足，則函數(shù)是R上的增函數(shù).

解析：不滿足定義的任意性，以偏概全，說法不正確；學(xué)生會(huì)覺得，且 ，與定義符合，易忽略其任意性。反例如左圖，可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮想象力，在區(qū)間間作函數(shù)的圖象，易于得出正確結(jié)論。

綜合來看，函數(shù)的單調(diào)性可從兩方面進(jìn)行講解：一方面從定義出發(fā)，用代數(shù)的方法判定；另一方面從圖象出發(fā)，直觀地理解定義。兩者相輔相成，從而達(dá)成知識(shí)點(diǎn)的建構(gòu)。

（二）函數(shù)單調(diào)性的教法研究

函數(shù)單調(diào)性的重點(diǎn)應(yīng)是對于定義的理解以及函數(shù)單調(diào)性的靈活應(yīng)用，而難點(diǎn)主要集中在對于定義的理解。函數(shù)單調(diào)性定義中最難理解的便是“任意”兩字，教師應(yīng)該把握好這節(jié)課中探究活動(dòng)的著眼點(diǎn)，即探究認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)，讓學(xué)生感覺到使用“任意”二字的必要性，并能用自己的語言表述概念的本質(zhì)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生頭腦中的相關(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)地去探索與思考，至于規(guī)范的符號(hào)語言表述則可以讓學(xué)生在證明函數(shù)單調(diào)性的過程中循序收獲。

數(shù)離開形缺直觀，形離開數(shù)難入微。以形助數(shù)，能夠使一些復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和抽象的概念簡單化、形象化、直觀化；而以數(shù)助形，通過對數(shù)量的分析和計(jì)算，能夠使問題得以嚴(yán)謹(jǐn)化、精確化地解決等等。僅從函數(shù)單調(diào)性的定義，對于高中生來說還是有些難度的，由圖象引入，加強(qiáng)學(xué)生的直觀感受，使得學(xué)生易于理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)含義，而不是僅僅可以用定義來解決相關(guān)習(xí)題。學(xué)生在理解函數(shù)單調(diào)性的定義后，便可以反過來從圖象讀出函數(shù)的性質(zhì)，也使得學(xué)生的直覺思維能力也能得到提升。

根據(jù)學(xué)生認(rèn)知水平與教學(xué)經(jīng)歷，對”函數(shù)單調(diào)性”的教學(xué)有如下的教學(xué)心得：

1.在教學(xué)中從學(xué)生的認(rèn)知角度出發(fā)，注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合生活實(shí)際，有效完成教學(xué)目標(biāo)。

2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)學(xué)生去理解函數(shù)單調(diào)性的定義。數(shù)學(xué)的定義都比較抽象和嚴(yán)謹(jǐn)，教學(xué)中恰到好處的實(shí)例引入，數(shù)形的有機(jī)結(jié)合，重點(diǎn)實(shí)際的技巧分析，是學(xué)生學(xué)好函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的定義，以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貞B(tài)度來證明與判斷函數(shù)的這些性質(zhì)，在基礎(chǔ)夯實(shí)的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的觀察力，靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性技巧性地解決一些函數(shù)問題，再次加深學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

3.利用函數(shù)單調(diào)性的證明，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的深刻認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維。

三、結(jié)束語

通過向?qū)W生講述關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)內(nèi)容，能夠促使學(xué)生掌握更多關(guān)于函數(shù)的知識(shí)，并為學(xué)生更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)奠定基礎(chǔ)，在未來的教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)強(qiáng)化函數(shù)教學(xué)，不斷提升學(xué)生的學(xué)習(xí)水平。

參考文獻(xiàn)：

[1]蘇教版高中數(shù)學(xué)教材編寫組.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1[M] .南京：江蘇教育出版社，2010.29-43.

[2] 張小磊.數(shù)形結(jié)合在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]. 科學(xué)大眾·科學(xué)教育，2012，（2）：12.