用電荷分布表示的靜電場(chǎng)總能量公式

摘 要：由用場(chǎng)強(qiáng)表示的靜電場(chǎng)總能量公式推導(dǎo)出帶電體的電荷分布分別為體分布、面分布、線分布、點(diǎn)分布時(shí)，用電荷分布表示的靜電場(chǎng)總能量公式，并由此歸納得出用電荷分布表示的靜電場(chǎng)總能量的一般表達(dá)式.

關(guān)鍵詞：靜電場(chǎng);電荷分布;電勢(shì);能量公式

一、引言

靜電場(chǎng)能量密度：

用場(chǎng)強(qiáng)表示的靜電場(chǎng)總能量公式為

（1）在靜電情形下，電場(chǎng)與電荷相聯(lián)系，靜電場(chǎng)既可用場(chǎng)強(qiáng)描述也可用電荷分布來描述，因而靜電場(chǎng)的總能量W除了用場(chǎng)強(qiáng)表示外，還可以用電荷分布表示.由式（1）導(dǎo)出用電荷分布表示的靜電場(chǎng)總能量公式為

（2）式（2）中的電荷分布只為體分布.對(duì)于電荷分布為面分布的情形，是將式（2）中的變?yōu)?，dV變?yōu)閐S而得，即

用式（1）對(duì)電荷分布分別為體分布、面分布、線分布、點(diǎn)分布情形，導(dǎo)出用電荷分布表示的靜電場(chǎng)總能量公式，從而歸納得出靜電場(chǎng)總能量的一般形式為

指出線分布，點(diǎn)分布是由體分布情形變形而得，即線分布、點(diǎn)分布是體分布的特殊情形，電荷分布為線分布、點(diǎn)分布情形時(shí)的靜電場(chǎng)總能量公式可用式（1）表示;面分布情形的靜電場(chǎng)總能量公式的推導(dǎo)應(yīng)用了靜電場(chǎng)的邊值關(guān)系，不是由體分布情形變形而得，即面分布不是體分布的特殊情形，因而電荷分布為面分布情形時(shí)的靜電場(chǎng)總能量公式不可用式（1）表示.

二、電荷分布為體分布的靜電場(chǎng)總能量公式

帶電體電荷分布僅是體分布，其體密度為，分布在有限區(qū)域V，由式（1）推導(dǎo)出用電荷分布表示的該帶電體在空間激發(fā)靜電場(chǎng)的總能量公式.

由和得

代入式（1） （3）

把式（3）右邊第二項(xiàng)體積分化為面積分

所以式（3）可以寫成

（4）

對(duì)于靜電場(chǎng)總能量而言，考慮的是分布在整個(gè)空間的靜電場(chǎng)，則式（1）的體積分是對(duì)整個(gè)空間進(jìn)行的，而整個(gè)空間的邊界面在無限遠(yuǎn)處，邊界面無限大.當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域且電量有限時(shí)，空間電場(chǎng)的隨而變，D隨而變，經(jīng)過r處的閉合面的面積隨r2而變，因此當(dāng)r趨向無限遠(yuǎn)時(shí)，式（4）右邊第二項(xiàng)對(duì)整個(gè)空間的邊界面的積分為零，即

代入式（4）得

（5）

式（5）就是電荷分布為體分布的靜電場(chǎng)總能量公式，由式（1）導(dǎo)出的用電荷分布表示的靜電場(chǎng)總能量公式式（2）一致.

三、電荷分布為面分布的靜電場(chǎng)總能量公式

帶電體電荷分布僅為面分布.設(shè)帶電體的體積為V（V的大小有限），電荷連續(xù)分布在帶電體的表面S上，即電荷分布在V的邊界面S上，電荷面密度為，此帶電體沒有電荷體密度，即，那么式（4）右邊的第一項(xiàng)也就為零，即

因此，式（3）就可以寫成

（6）

將整個(gè)空間分成兩部分，一部分為帶電體所占的空間區(qū)域 ，另一部分為除帶電體外的空間區(qū)域（），因此式（6）可以寫成

把體積分變成面積分上式可寫成

（7）

上式右邊第一項(xiàng)對(duì)整個(gè)空間的邊界面上的積分為零，即

式（7）就可以寫成

（8）

由邊值關(guān)系

式（8）可寫成

（9）

式（9）就是電荷分布為面分布的靜電場(chǎng)總能量公式.

以上推導(dǎo)應(yīng)用了靜電場(chǎng)的邊值關(guān)系，電荷分布為面分布的靜電場(chǎng)總能量公式不是由體分布情形下用電荷分布表示的靜電場(chǎng)總能量公式推導(dǎo)得來的，所以電荷分布為面分布的情形不是體分布的特殊情形，電荷分布為面分布的靜電場(chǎng)總能量公式不可用式（5）表示.

四、電荷分布為線分布的靜電場(chǎng)總能量公式

帶電體的電荷分布為線分布.設(shè)電荷連續(xù)分布在長(zhǎng)為為的線上，其電荷線密度為 .電荷線分布是一理想模型，是當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)與帶電體的距離比帶電體截面尺大得多時(shí)，忽略截面大小而得.用dS來表示橫截面積，那么有，則，代入式（5），就可以得到

（10）

由電荷線密度的定義

式（10）可寫成

（11）

式（11）就是電荷分布為線分布的靜電場(chǎng)總能量公式.

以上推導(dǎo)是由式（5）----電荷分布為體分布的靜電場(chǎng)總能量公式推導(dǎo)得到的，所以電荷分布為線分布的情形是體分布的特殊情形，電荷分布為線分布的靜電場(chǎng)總能量公式可用式（5）表示.

五、電荷分布為點(diǎn)分布的靜電場(chǎng)總能量公式

若電荷分布為點(diǎn)分布，即帶電體大小和形狀的影響可以忽略，把帶電體上的電荷看成是集中在一個(gè)幾何點(diǎn)上.取x為場(chǎng)點(diǎn)位矢，x0為源點(diǎn)位矢，借助于函數(shù)

點(diǎn)電荷的電荷密度可用 函數(shù)來描述.電量為 的點(diǎn)電荷，其電荷密度分布函數(shù)為

式（5）就可以寫成

（12）

設(shè)空間電場(chǎng)由N個(gè)點(diǎn)電荷激發(fā).上式對(duì)整個(gè)空間進(jìn)行積分，用來表示所有的點(diǎn)電荷在qi處產(chǎn)生的電勢(shì)，這樣就得到靜電場(chǎng)總能量公式為

（13）

式（13）從電荷做功和功能原理出發(fā)推導(dǎo)得出的靜電場(chǎng)總能量公式一致.

由以上可知，式（13）是由式（5） 推導(dǎo)而得，即電荷分布為點(diǎn)分布的靜電場(chǎng)總能量公式是由電荷分布為體分布的靜電場(chǎng)總能量公式推導(dǎo)而得，所以式（13）與式（5）都可以用來表示電荷分布為點(diǎn)分布的靜電場(chǎng)總能量公式.電荷分布為點(diǎn)分布的情形是體分布的特殊情形，一般情況下，電荷分布為點(diǎn)分布的靜電場(chǎng)總能量公式可用式（5）表示.

六、小結(jié)

對(duì)于電荷分布為線分布，點(diǎn)分布情形，由于電荷分布為線分布，點(diǎn)分布情形就是體分布的一種特殊情形，兩情形用電荷分布表示的靜電場(chǎng)總能量公式都是由電荷分布為體分布的靜電場(chǎng)總能量公式推導(dǎo)而得，因而一般情況下，兩情形用電荷分布表示的靜電場(chǎng)總能量公式均可用電荷分布為體分布的靜電場(chǎng)總能量公式式（5）表示;而對(duì)于電荷分布為面分布情形，其用電荷分布表示的靜電場(chǎng)總能量公式的推導(dǎo)過程中應(yīng)用了靜電場(chǎng)的邊值關(guān)系，而不是由電荷分布為體分布的靜電場(chǎng)總能量公式推導(dǎo)而得，需要的條件與線分布和點(diǎn)分布不一樣，所以面分布不是體分布的特殊情形，電荷分布為面分布的靜電場(chǎng)總能量公式只能用式（9）表示.

一般情況下，電荷分布除了體分布外，還有面分布，用電荷分布表示的靜電場(chǎng)總能量公式就應(yīng)該用體分布和面分布一起來表示，因此一般情況下用電荷分布表示的靜電場(chǎng)總能量的表達(dá)式為

（19）

式（19）在除了體分布的電荷外，還有面分布的電荷，表示電荷系的總靜電能的式（1.7-10）一致，但沒有對(duì)式（1.7-10）作出推導(dǎo).